Question

已知数列{a_n}满足：a_n+1=

an(an2+3)

3an2+1

，a₁=2，b_n=

an-1

an+1

（1）求{b_n}的通项公式；
（2）求证：当n≥3时，b₁+b₂+…+b_n＜

241

648

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列递推式

专题：计算题,证明题,等差数列与等比数列,二项式定理

分析：（1）求出b_n+1，因式分解，得到b_n+1=b_n³，两边取3为底的对数，得到等比数列，由等比数列的通项公式，即可得到b_n；
（2）运用二项式定理，得到当n≥3，3^n-1=（1+2）^n-1=

C

0 n-1

+2C

1 n-1

+…+

2n-1C

n-1 n-1

＞2n，再由指数函数的单调性，运用等比数列的求和公式，即可得证．

解答： （1）解：由于a_n+1=

an(an2+3)

3an2+1

，b_n=

an-1

an+1

，
则b_n+1=

an+1-1

an+1+1

=

an3-3an2+3an-1

an3+3an2+3an+1

=（

an-1

an+1

）³=b_n³，
由于b₁=

a1-1

a1+1

=

1

3

，
则log₃b_n+1=log₃b_n³=3log₃b_n，
即有{log₃b_n}为等比数列，即有log₃b_n=log₃

1

3

•3^n-1，
即有b_n=（

1

3

）^3n-1；
（2）证明：当n≥3，3^n-1=（1+2）^n-1=

C

0 n-1

+2C

1 n-1

+…+

2n-1C

n-1 n-1

＞2n，
则b_n=（

1

3

）^3n-1＜（

1

3

）²ⁿ（n≥3），
故当n≥3时，b₁+b₂+…+b_n＜

1

3

+

1

27

+（

1

3

）⁶+…+（

1

3

）²ⁿ
=

10

27

+

1 36 (1- 1 32n-4 )

1- 1 9

＜

10

27

+

1

648

=

241

648

．
即原不等式成立．

点评：本题考查数列通项公式的求法，考查等比数列的通项和求和公式的运用，考查二项式定理及其运用，属于中档题．