Question

如图，正方形 ACD E所在的平面与平面 A BC垂直，M是C E和 AD的交点，AC⊥BC，且 AC=BC．
（Ⅰ）求证：A M⊥平面 E BC；
（Ⅱ）求二面角 A-E B-C的大小．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：几何法：
（Ⅰ）由已知得AM⊥EC，AC⊥BC，由此能证明AM⊥平面EBC．
（Ⅱ）过A作AH⊥EB于H，连结HM，由已知得∠AHM是二面角A-EB-C的平面角，由此能求出二面角A-EB-C的大小．
向量法：
（Ⅰ）以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，分别以直线AC和AE为y轴和z轴，建立空间直角坐标系A-xyz，利用向量法能证明AM⊥平面EBC．
（2）求出平面EAB的法向量和平面EBC的法向量，利用向量法能求出二面角A-EB-C的大小．

解答： （本小题满分12分）
几何法：
（Ⅰ）证明：∵四边形ACDE是正方形，∴AM⊥EC，
又∵平面ACDE⊥平面ABC，∴AC⊥BC，
∴BC⊥平面EAC，…（3分）
∵BC?平面EAC，∴BC⊥AM，
又∵EC∩BC=C，∴AM⊥平面EBC．…（6分）
（Ⅱ）解：过A作AH⊥EB于H，连结HM，
∵AM⊥平面EBC，∴AM⊥EB，∴EB⊥平面AHM，
∴∠AHM是二面角A-EB-C的平面角，…（8分）
∵平面ACDE⊥平面ABC，∴EA⊥平面ABC，∴EA⊥AB，
在Rt△EAB中，AH⊥EB，有AE•AB=EB•AH，
设EA=AC=BC=2a，得，AB=2

2

a，EB=2

3

a，∴AH=

AE•AB

EB

=

2 2 a

3

，
∴sin∠AHM=

AM

AH

=

3

2

，∴∠AHM=60°．
∴二面角A-EB-C等于60°．…（12分）
向量法：
（Ⅰ）证明：∵四边形ACDE是正方形，∴EA⊥AC，
∵平面ACDE⊥平面ABC，EA⊥平面ABC，…（2分）
∴以点A为原点，以过A点平行于BC的直线为x轴，
分别以直线AC和AE为y轴和z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
设EA=AC=BC=2，则A（0，0，0），C（0，2，0），E（0，0，2），
M是正方形ACDE的对角线的交点，M（0，1，1），…（4分）

AM

=（0，1，1），

EC

=（0，2，-2），

CB

=(2，0，0)，
∴

AM

•

EC

=0，

AM

•

CB

=0，∴AM⊥EC，AM⊥BC，
又EC∩BC=C，∴AM⊥平面EBC．…（6分）
（2）设平面EAB的法向量为

n

=(x，y，z)，则

n

•

AE

=0，

n

•

AB

=0，
∴

2z=0 2x+2y=0

，取y=-1，则x=1，则

n

=（1，-1，0），…（10分）
又∵

AM

=(0，1，1)为平面EBC的一个法向量，
∴cos＜

n

，

AM

＞=

n • AM

| n |•| AM |

=-

1

2

，
设二面角A-EB-C的平面角为θ，则cosθ=|cos＜

n

，

AM

＞|=

1

2

，∴θ=60°，
∴二面角A-EB-C等于60°．…（12分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．