Question

已知不等式|y+4|-|y|≤2^x+

a

2x

对任意实数x，y都成立，则常数a的最小值为（　　）

• A、1
• B、2
• C、3
• D、4

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：令f（y）=|y+4|-|y|，利用绝对值不等式可得|y+4|-|y|≤|y+4-y|=4，从而将问题转化为2^x+

a

2x

≥f（y）_max=4，令g（x）=-（2^x）²+4×2^x，则a≥g（x）_max=4，从而可得答案．

解答：解：令f（y）=|y+4|-|y|，
则f（y）≤|y+4-y|=4，
即f（y）_max=4．
∵不等式|y+4|-|y|≤2^x+

a

2x

对任意实数x，y都成立，
∴2^x+

a

2x

≥f（y）_max=4，
∴a≥-（2^x）²+4×2^x=-（2^x-2）²+4恒成立；
令g（x）=-（2^x）²+4×2^x，
则a≥g（x）_max=4，
∴常数a的最小值为4，
故选：D．

点评：本题考查绝对值不等式的解法，着重考查化归思想与构造函数思想，突出恒成立问题的考查，属于中档题．