Question

 设双曲线C：（a＞0，b＞0）的离心率为e，若直线l： x＝与两条渐近线相交于P、Q两点，F为右焦点，△FPQ为等边三角形．

　（1）求双曲线C的离心率e的值；

　（2）若双曲线C被直线y＝ax＋b截得的弦长为，求双曲线c的方程．

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解析：（1）双曲线C的右准线l的方程为：x＝，两条渐近线方程为：．

　　∴　两交点坐标为　，、，．

　　∵　△PFQ为等边三角形，则有（如图）．

　　∴　，即．

　　解得　，c＝2a．∴　．……………………………………6分

　　（2）由（1）得双曲线C的方程为把．

　　把代入得．

　　依题意　　∴　，且．

　　∴　双曲线C被直线y＝ax＋b截得的弦长为

　　

　　

　　∵　．　∴　．

　　整理得　．

　　∴　或．

　　∴　双曲线C的方程为：或．……………… 12分