Question

椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，若椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等于椭圆的焦距，又已知直线2x-y-4=0被此椭圆所截得的弦长为

4 5

3

，求此椭圆的方程．

Answer 1

分析：由椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等于椭圆的焦距，知4c²=（a+c）（a-c），解得b²=4c²，由

4x2+5y2=m 2x-y-4=0

，得24x²-80x+80-m=0，由弦长公式得

4 5

3

=

5

×

3m-40 18

，由此能求出椭圆的方程．

解答：解：∵椭圆的一个焦点将长轴分成的两段的比例中项等于椭圆的焦距，
∴4c²=（a+c）（a-c），
解得a²=5c²，
∴b²=4c²，
由

4x2+5y2=m 2x-y-4=0

，
消去y，得24x²-80x+80-m=0，
设直线与椭圆交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=

80

24

=

10

3

，x1•x2=

80-m

24

，k=2，
由弦长公式l=

1+k2

|x1-x2|=

5

•

100 9 - 80-m 6

=

5

•

3m-40 18

，
∵直线2x-y-4=0被此椭圆所截得的弦长为

4 5

3

，
∴

4 5

3

=

5

×

3m-40 18

，
解得m=24，
∴椭圆的方程是4x²+5y²=24．

点评：本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．