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12.如图,边长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,B1C与BC1相交于点O.
(1)求证:BC1∥平面AA1D1D;
(2)求证:BC1⊥平面B1DC;
(3)求四面体B1-BDC1的体积.

分析 (1)根据正方体得出BC1∥AD1,再运用判定定理可证明;
(2)由四边形BCC1B1是正方形可证,BC1⊥B1C,然后可证A1B1⊥BC1,根据线面垂直的平判定定理可证;
(3)利用等体积转换,即可求四面体B1-BDC1的体积.

解答 (1)证明:连接D1A,
∵正方体ABCD-A1B1C1D1中,ABC1D1是平行四边形
∴BC1∥AD1
∵BC1?平面AA1D1D;AD1?平面AA1D1D,
∴BC1∥平面AA1D1D;
(2)证明:由题意四边形BCC1B1是正方形,∴BC1⊥B1C,
∵A1B1⊥B1C1,A1B1⊥B1B,B1C1∩B1B=B1
∴A1B1⊥平面BCC1B1,BC1?平面BCC1B1
∴A1B1⊥BC1
又∵B1C∩A1B1=B1,B1C?平面A1B1CD,A1B1?平面A1B1CD,
∴BC1⊥平面A1B1CD.
(3)解:正方体ABCD-A1B1C1D1中${S}_{△B{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{2}B{B}_{1}•{B}_{1}{C}_{1}$=2,
点D到平面BB1C1的距离等于D到平面BB1C1C的距离为2,
∴${V}_{{B}_{1}-BD{C}_{1}}$=${V}_{D-B{B}_{1}{C}_{1}}$=$\frac{1}{3}×2×2$=$\frac{4}{3}$.

点评 本题考查空间直线与平面的平行、垂直的判定,考查求四面体B1-BDC1的体积,属于中档题.

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B.S={0,1,2,5},T=$\{1,\frac{1}{2},\frac{1}{5}\}$,对应法则是取倒数
C.S=N,T={-1,1},对应法则是n→(-1)n,n∈S
D.S={x|x∈R},T={y|y∈R},对应法则是x→y=$\frac{1+x}{1-x}$

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