Question

已知等比数列的各项均为正数，且公比不等于1，数列对任意正整数n，均有： 成立_；

(1)求数列的通项公式及前n项和；

(2)在数列中依次取出第1项，第2项，第4项，第8项，……，第项，……，组成一个新数列，求数列的前n项和；

（3）对（1）（2）中的 _、，当时，比较与的大小。

Answer 1

解：（I）设公比为 ……………………2分 

代入得

即∵，∴，

∴∴是等差数列   ……………………4分 

=2   ∴   …………6分 

（Ⅱ）

……………………8分 

（3）时，时，

；猜测时，            …………10分 

用数学归纳法证明如下

（1）时，（已证）

（2）假设时不等式成立，即 ……………………12分 

时，

又

∴

即时，不等式成立。

由（1）（2）知，当时， ……………14分