Question

甲、乙两运动员进行射击训练,已知他们击中目标的环数都稳定在7,8,9,10环,且每次射击成绩互不影响,射击环数的频率分布表如下:
甲运动员

射击环数	频数	频率
7	10	0.1
8	10	0.1
9	x	0.45
10	35	y
合计	100	1

乙运动员

射击环数	频数	频率
7	8	0.1
8	12	0.15
9	z
10		0.35
合计	80	1

若将频率视为概率,回答下列问题:
(1)求甲运动员射击1次击中10环的概率.
(2)求甲运动员在3次射击中至少有1次击中9环以上(含9环)的概率.
(3)若甲运动员射击2次,乙运动员射击1次,ξ表示这3次射击中击中9环以上(含9环)的次数,求ξ的分布列及E(ξ).

Answer 1

(1) 0.35    (2) 0.992    (3) ξ的分布列是

ξ	0	1	2	3
P	0.01	0.11	0.4	0.48

2.35

由题意得x=100-(10+10+35)=45,
y=1-(0.1+0.1+0.45)=0.35.
因为乙运动员的射击环数为9时的频率为1-(0.1+0.15+0.35)=0.4,所以z=0.4×=32.
由上可得表中x处填45,y处填0.35,z处填32.
(1)设甲运动员射击1次击中10环为事件A,则P(A)=0.35,即甲运动员射击1次击中10环的概率为0.35.
(2)设甲运动员射击1次击中9环为事件A₁,击中10环为事件A₂,则甲运动员在1次射击中击中9环以上(含9环)的概率为P(A₁∪A₂)=P(A₁)+P(A₂)=0.45+0.35
=0.8,
故甲运动员在3次射击中至少有1次击中9环以上(含9环)的概率P=1-[1-P(A₁∪A₂)]³=1-0.2³=0.992.
(3)ξ的可能取值是0,1,2,3,则
P(ξ=0)=0.2²×0.25=0.01,
P(ξ=1)=×0.2×0.8×0.25+0.2²×0.75=0.11,
P(ξ=2)=0.8²×0.25+×0.8×0.2×0.75=0.4,
P(ξ=3)=0.8²×0.75=0.48.
所以ξ的分布列是

ξ	0	1	2	3
P	0.01	0.11	0.4	0.48

E(ξ)=0×0.01+1×0.11+2×0.4+3×0.48=2.35.