Question

设

a

，

b

，

c

是单位向量，且

a

•

b

=0，则(

a

-

c

)•(

b

-

c

)的最小值为（　　）

• A．

  2

  -1
• B．1-

  2

• C．-

  2

• D．

  2

Answer 1

分析：根据题意将所求式展开，结合已知条件化简得(

a

-

c

)•(

b

-

c

)=1-|

a

+

b

|cosθ，其中θ为

a

+

b

与

c

的夹角．再求出|

a

+

b

|并利用cosθ的范围，可得(

a

-

c

)•(

b

-

c

)的最小值．

解答：解：(

a

-

c

)•(

b

-

c

)=

a

•

b

-（

a

+

b

）•

c

+

c

2，
∵

a

•

b

=0，且

|c|

=1，
∴(

a

-

c

)•(

b

-

c

)=1-|

a

+

b

|cosθ，其中θ为

a

+

b

与

c

的夹角．
∵|

a

+

b

|²=（

a

+

b

）²=

a

2+2

a

•

b

+

b

2=1+0+1=2，∴|

a

+

b

|=1，
又∵cosθ∈[-1，1]，
∴当且仅当θ=0，即

a

+

b

与

c

的方向相同时，|

a

+

b

|cosθ有最大值为

2

．
相应地，(

a

-

c

)•(

b

-

c

)=1-|

a

+

b

|cosθ有最小值1-

2

故选：B

点评：本题给出互相垂直的两个单位向量与另一个向量，求数量积的最小值．着重考查了平面向量数量积的运算性质和向量模的公式等知识，属于中档题．