Question

如图，已知三角形△ABC是等边三角形，AD⊥平面ABC，BE∥AD，AB=BE=2AD=2，且F、G分别是BC、CE的中点．
（1）求证：AF∥平面CDE；
（2）求证：平面CDE⊥平面BCE；
（3）求四棱锥C-ADGF的体积．

Answer 1

分析：（1）根据中位线定理可知FG∥BE，且FG=

1

2

BE，而BE∥AD，且AD=

1

2

BE，则ADGF为平行四边形，则AF∥DG，AF?平面CDE，DG?平面CDE，满足线面平行的判定定理，从而证得结论；
（2）根据AD⊥平面ABC，BE∥AD，则BE⊥平面ABC，又AF?平面ABC，根据线面垂直的性质可知BE⊥AF．又AF⊥BC，BC∩BE=B，满足线面垂直的判定定理，证得AF⊥平面BCE，又DG∥AF，则DG⊥平面BCE，DG?平面CDE，根据面面垂直的判定定理可证得结论；
（3）由（1）（2）中的结论结合已知可判断出CF为棱锥的高，底面ADGF为正方形，代入棱锥体积公式，可得答案．

解答：证明：（1）∵F、G分别是BC、CE的中点，
∴FG∥BE，且FG=

1

2

BE．
又BE∥AD，且AD=

1

2

BE，
∴AD∥FG，且AD=FG，
∴ADGF为平行四边形，
∴AF∥DG．…（2分）
又∵AF?平面CDE，DG?平面CDE，
∴AF∥平面CDE． …（4分）
（2）∵△ABC为正三角形，
∴AF⊥BC．
∵AD⊥平面ABC，BE∥AD，
∴BE⊥平面ABC，又AF?平面ABC，
∴BE⊥AF．
又AF⊥BC，BC∩BE=B，
∴AF⊥平面BCE． …（6分）
又DG∥AF，
∴DG⊥平面BCE．
又∵DG?平面CDE，
∴平面CDE⊥平面BCE；
（3）∵AD⊥平面ABC，GF∥AD，
∴GF⊥平面ABC，
∴GF⊥BC
又∵AF⊥BC，GF∩AF=F
∴BC⊥平面ADGF
即CF为平面ADGF的高
又∵AB=BE=2AD=2，
∴AF=AD=CF=1，
∴平面ADGF的面积为1
∴四棱锥C-ADGF的体积V=

1

3

．

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，棱锥的体积，直线与平面平行的判定，解答（1）（2）的关键是掌握空间线面关系的判定，性质及几何特征，解答（3）的关键是求出棱锥的高及底面面积．