【题目】已知函数,的导函数为.
(1)试讨论函数的零点个数;
(2)若对任意的,关于的不等式恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)详见解析;(2).
【解析】
(1)先求函数的定义域,然后求函数的导数,对分类讨论,将的零点问题,转化为直线与函数图象的交点个数来求解出来.(2)构造函数,将原问题转化为对恒成立,先利用确定的一个范围,然后利用的二阶导数验证在这个范围内,的最大值不大于零,由此求得的取值范围.
解:(1)由题意得的定义域为,.
(i)当时,,此时没有零点;
(ii)当时,,
的零点个数等于直线与函数图象的交点个数,可知直线与函数图象的相切点,此时切线的斜率为.
①当,即时,两个图象没有交点,即函数没有零点;
②当,即时,两个图象有两个交点,即函数有两个零点;
③当,即时两个图象有一个交点,即函数有一个零点;
④当,即时,两个图象有一个交点,即函数有一个零点.
综上,当时,函数没有零点;
当或时,有一个零点;
当时,有两个零点.
(2)设 ,
要使原不等式恒成立,则只要对恒成立,
所以.
令,则.
由于“对恒成立”的一个必要条件是,即.
当时,,,
所以在上单调递减.
所以,,从而在上单调递减,则,,
所以实数的取值范围为.
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【题目】在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,以轴正半轴为极轴,建立极坐标系,点为曲线上的动点,点在线段的延长线上,且满足,点的轨迹为.
(1)求,的极坐标方程;
(2)设点的极坐标为,求△面积的最小值.
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【题目】如图,在四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AB⊥AD,AB⊥BC,侧面SAB⊥底面ABCD,且SA=SB=AB=BC=2,AD=1.
(1)设E为棱SB的中点,求证:AE⊥平面SBC;
(2)求平面SCD与平面SAB所成锐二面角的大小.
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【题目】如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C, AB=3,BC=5.
(1)求证:AA1⊥平面ABC;
(2)求二面角A1-BC1-B1的余弦值;
(3)求点C到平面的距离.
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【题目】在某区“创文明城区”(简称“创城”)活动中,教委对本区四所高中学校按各校人数分层抽样,随机抽查了100人,将调查情况进行整理后制成下表:
学校 | ||||
抽查人数 | 50 | 15 | 10 | 25 |
“创城”活动中参与的人数 | 40 | 10 | 9 | 15 |
(注:参与率是指:一所学校“创城”活动中参与的人数与被抽查人数的比值)假设每名高中学生是否参与”创城”活动是相互独立的.
(1)若该区共2000名高中学生,估计学校参与“创城”活动的人数;
(2)在随机抽查的100名高中学生中,随机抽取1名学生,求恰好该生没有参与“创城”活动的概率;
(3)在上表中从两校没有参与“创城”活动的同学中随机抽取2人,求恰好两校各有1人没有参与“创城”活动的概率是多少?
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