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    【题目】在平面上给定相异两点A，B，设P点在同一平面上且满足，当且时，P点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故我们称这个圆为阿波罗尼斯圆，现有双曲线（，），A，B为双曲线的左、右顶点，C，D为双曲线的虚轴端点，动点P满足，面积的最大值为，面积的最小值为4，则双曲线的离心率为______.

    【答案】

    【解析】

    根据为双曲线的左、右顶点可设,,,由两点间距离公式并化简可得动点的轨迹方程.由为双曲线的左、右顶点可知当位于圆的最高点时的面积最大,根据面积最大值求得.当位于圆的最左端时的面积最小,结合最小面积可求得,即可求得双曲线的离心率.

    设,,,

    依题意,得,

    即,

    两边平方化简得,则圆心为,半径,

    当位于圆的最高点时的面积最大,最大面积为,

    解得；

    当位于圆的最左端时的面积最小,最小面积为,

    解得,

    故双曲线的离心率为.

    故答案为:

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    【题目】已知三棱锥P-ABC（如图1）的展开图如图2，其中四边形ABCD为边长等于的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P-ABC中.

    （1）证明：平面PAC⊥平面ABC；

    （2）若M，N分别是AP，BC的中点，请判断三棱锥M-BCP和三棱锥N-APC体积的大小关系并加以证明.

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    【题目】为迎接2022年冬奥会，北京市组织中学生开展冰雪运动的培训活动，并在培训结束后对学生进行了考核．记表示学生的考核成绩，并规定为考核优秀．为了了解本次培训活动的效果，在参加培训的学生中随机抽取了30名学生的考核成绩，并作成如下茎叶图：

    （Ⅰ）从参加培训的学生中随机选取1人，请根据图中数据，估计这名学生考核优秀的概率；

    （Ⅱ）从图中考核成绩满足的学生中任取2人，求至少有一人考核优秀的概率；

    （Ⅲ）记表示学生的考核成绩在区间的概率，根据以往培训数据，规定当时培训有效．请根据图中数据，判断此次中学生冰雪培训活动是否有效，并说明理由．

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    【题目】如图，C、D是离心率为的椭圆的左、右顶点，、是该椭圆的左、右焦点， A、B是直线4上两个动点，连接AD和BD，它们分别与椭圆交于点E、F两点，且线段EF恰好过椭圆的左焦点. 当时，点E恰为线段AD的中点．

    （Ⅰ）求椭圆的方程；

    （Ⅱ）求证：以AB为直径的圆始终与直线EF相切．

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    【题目】如图，在三棱锥中，，，，，，．

    （1）若为的中点，证明：平面；

    （2）求二面角的余弦值．

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    【题目】如图都是由边长为1的正方体叠成的几何体,例如第(1)个几何体的表面积为6个平方单位，第(2)个几何体的表面积为18个平方单位，第(3)个几何体的表面积是36个平方单位.依此规律,则第个几何体的表面积是__________个平方单位.

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    【题目】研究机构对某校学生往返校时间的统计资料表明：该校学生居住地到学校的距离（单位：千米）和学生花费在上学路上的时间（单位：分钟）有如下的统计资料：

    到学校的距离（千米）

    1.8

    2.6

    3.1

    4.3

    5.5

    6.1

    花费的时间（分钟）

    17.8

    19.6

    27.5

    31.3

    36.0

    43.2

    如果统计资料表明与有线性相关关系，试求：

    （1）判断与是否有很强的线性相关性？

    （相关系数的绝对值大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性，精确到0.01）

    （2）求线性回归方程（精确到0.01）；

    （3）将分钟的时间数据称为美丽数据，现从这6个时间数据中任取2个，求抽取的2个数据全部为美丽数据的概率.

    参考数据：，，，，

    ，

    参考公式：，

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    【题目】菜市房管局为了了解该市市民2018年1月至2019年1月期间购买二手房情况，首先随机抽样其中200名购房者，并对其购房面积（单位：平方米，）进行了一次调查统计，制成了如图1所示的频率分布南方匿，接着调查了该市2018年1月﹣2019年1月期间当月在售二手房均价（单位：万元/平方米），制成了如图2所示的散点图（图中月份代码1﹣13分别对应2018年1月至2019年1月）．

    （1）试估计该市市民的平均购房面积．

    （2）现采用分层抽样的方法从购房耐积位于的40位市民中随机取4人，再从这4人中随机抽取2人，求这2人的购房面积恰好有一人在的概率．

    （3）根据散点图选择和两个模型进行拟合，经过数据处理得到两个回归方程，分别为和，并得到一些统计量的值，如表所示：

    请利用相关指数判断哪个模型的拟合效果更好，并用拟合效果更好的模型预测2019年6月份的二手房购房均价（精确到）．

    参考数据：，，，，,,,．参考公式：相关指数．

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    【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：(a＞b＞0)经过点(0，)，点F是椭圆的右焦点，点F到左顶点的距离和到右准线的距离相等．过点F的直线交椭圆于M，N两点．

    （1）求椭圆C的标准方程；

    （2）当MF＝2FN时，求直线的方程；

    （3）若直线上存在点P满足PM·PN＝PF2，且点P在椭圆外，证明：点P在定直线上．

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