Question

一个四棱锥P一ABCD的正视图是边长为2的正方形及其一条对角线，侧视图和俯视图全全等的等腰直角三角形，直角边长为2，直观图如图．
（1）求四棱锥P一ABCD的体积：
（2）求二面角C-PB-A大小；
（3）M为棱PB上的点，当PM长为何值时，CM⊥PA？

Answer 1

分析：（1）由三视图可知，PD⊥平面ABCD，这样就看出四棱锥的底面和高都可以知道，做出体积的值．
（2）以D为坐标原点，分别以DP、DC、DA所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．两个平面的法向量都不用求出，只要证出就可以，这样根据两个向量的夹角做出二面角的值．
（3）根据三点共线设出要求的向量，根据两条线垂直，得到两个向量的数量积等于0，求出所设的值，得到结果．

解答：解：（1）由三视图可知，PD⊥平面ABCD，
∴四棱锥P-ABCD的体积V=

1

3

SABCD•PD=

8

3

；
（2）如图，以D为坐标原点，分别以DP、DC、DA所在
直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设CP中
点为E，则OE⊥PC，OE⊥BC，所以

OE

是平面PBC的法向量；设AP中点为F，同理
可知

OF

是平面PAB的法向量．
知

OF

是平面PAB的法向量．

OE

=(1，1，0)，

OF

=(1，0，1)，
设二面角C-PB-A的平面角为θ，则|cosθ|=|

OE • OF

| OE |•| OF |

=

1

2

，显然θ＞

π

2

，
所以二面角C-PB-A大小为

2π

3

；
（3）P（2，0，0），B（0，2，2），C（0，2，0），A（0，0，2），∵PMB共线，
∴可设

PM

=k•

PB

=(-2k，2k，2k)，k∈R，

CM

=

CP

+

PM

=(2-2k，-2+2k，2k)，

PA

=(-2，0，2)，
∵CM⊥PA，所以

CM

•

PA

=8k-4=0，∴k=

1

2

∴

PM

=(-1，1，1)，|

PM

|=

3

∴PM的长为

3

时，CM⊥PA

点评：本题考查利用空间向量解决几何体中的夹角和距离的问题，本题解题的关键是建立合适的坐标系，注意选择解题的方法，方法选择的好，可以降低题目的难度，本题可以作为高考卷中的题目出现．