Question

12．在自然界中存在着大量的周期函数，比如声波．若两个声波随时间的变化规律分别为：${y_1}=3\sqrt{2}sin（{100πt}），{y_2}=3cos（{100πt+\frac{π}{4}}）$，则这两个声波合成后（即y=y₁+y₂）的声波的振幅为（　　）

• A． $6\sqrt{2}$
• B． 6
• C． $3\sqrt{2}$
• D． 3

Answer 1

分析 根据三角函数的辅助角公式，结合两角和差的正弦公式将函数进行化简即可得到结论．

解答 解：∵${y_1}=3\sqrt{2}sin（{100πt}），{y_2}=3cos（{100πt+\frac{π}{4}}）$，
∴y=y₁+y₂=3$\sqrt{2}$sin（100πt）+3cos（100πt+$\frac{π}{4}$）
=3$\sqrt{2}$sin（100πt）+3cos100πtcos$\frac{π}{4}$-3sin（100πt）sin$\frac{π}{4}$
=3$\sqrt{2}$sin（100πt）+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$cos100πt-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$sin（100πt）
=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$sin（100πt）+$\frac{3\sqrt{2}}{2}$cos100πt
=3sin（100πt+$\frac{π}{4}$），
则函数的振幅为3，
故选：D．

点评 本题主要考查三角函数的化简，利用辅助角公式是解决本题的关键．