Question

已知A是圆x²+y²=4上任一点，AB垂直于x轴，交x轴于点B．以A为圆心、AB为半径作圆交已知圆于C、D，连接CD交AB于点P，求点P的轨迹方程．

Answer 1

解：设点A的坐标为A（2cosα，2sinα），则以A为圆心、AB为半径的圆的方程为：
（x-2cosα）²+（y-2sinα）²=4sin²α．
联立已知圆x²+y²=4的方程，相减，可得公共弦CD的方程为：
xcosα+ysinα=1+cos²α． （1）
而AB的方程是 x=2cosα． （2）
所以满足（1）、（2）的点P的坐标为（2cosα，sinα），消去α，即得
点P的轨迹方程为x²+4y²=4．
分析：设点A的坐标为A（2cosα，2sinα），由以A为圆心、AB为半径的圆的方程及已知圆x²+y²=4的方程，求得公共弦CD的方程，再与AB的方程联立得到点P的坐标为（2cosα，sinα），消去α，由此能求出点Q的轨迹方程．
点评：本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用能力，具体涉及到轨迹方程的求法及直线与圆的相关知识，解题时要注意合理地利用参数进行等价转化．