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    已知函数f（x）对任意的a、b∈R都有f（a+b）=f（a）+f（b）-1，且当x＞0时，f（x）＞1．
    （1）求证：f（x）是R上的增函数；
    （2）若f（4）=5，解不等式f（3m2-m-2）＜3．
    分析：（1）先任取x1＜x2，x2-x1＞0．由当x＞0时，f（x）＞1．得到f（x2-x1）＞1，再对f（x2）按照f（a+b）=f（a）+f（b）-1变形得到结论．（2）由f（4）=f（2）+f（2）-1求得f（2）=3，再将f（3m2-m-2）＜3转化为f（3m2-m-2）＜f（2），由（1）中的结论，利用单调性求解．
    解答：解：（1）证明：任取x1＜x2，
    ∴x2-x1＞0．
    ∴f（x2-x1）＞1．
    ∴f（x2）=f[x1+（x2-x1）]
    =f（x1）+f（x2-x1）-1＞f（x1），
    ∴f（x）是R上的增函数．
    （2）∵f（4）=f（2）+f（2）-1=5，
    ∴f（2）=3．
    ∴f（3m2-m-2）＜3=f（2）．
    又由（1）的结论知，f（x）是R上的增函数，
    ∴3m2-m-2＜2，
    3m2-m-4＜0，
    ∴-1＜m＜
    4
    3
    ．
    点评：本题主要考查抽象函数的单调性证明和单调性定义解抽象不等式．
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    年级 高中课程 年级 初中课程
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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=ex，直线l的方程为y=kx+b．
    （1）求过函数图象上的任一点P（t，f（t））的切线方程；
    （2）若直线l是曲线y=f（x）的切线，求证：f（x）≥kx+b对任意x∈R成立；
    （3）若f（x）≥kx+b对任意x∈[0，+∞）成立，求实数k、b应满足的条件．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    若实数x、y、m满足|x-m|＞|y-m|，则称x比y远离m．
    （1）若x2-1比1远离0，求x的取值范围；
    （2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3+b3比a2b+ab2远离2ab
    		ab
    ；
    （3）已知函数f（x）的定义域D={{x|x≠
    kπ
    2
    +
    π
    4
    ，k∈Z，x∈R}    ．任取x∈D，f（x）等于sinx和cosx中远离0的那个值．写出函数f（x）的解析式，并指出它的基本性质（结论不要求证明）．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    若实数x、y、m满足|x-m|＜|y-m|，则称x比y接近m．
    （1）若x2-1比3接近0，求x的取值范围；
    （2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a2b+ab2比a3+b3接近2ab
    		ab
    ；
    （3）已知函数f（x）的定义域D{x|x≠kπ，k∈Z，x∈R}．任取x∈D，f（x）等于1+sinx和1-sinx中接近0的那个值．写出函数f（x）的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性（结论不要求证明）．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    已知函数f（x）=
    ex
    ex+1
    ．
    （Ⅰ）证明函数y=f（x）的图象关于点（0，
    1
    2
    ）对称；
    （Ⅱ）设y=f-1(x)为y=f(x)的反函数，令g(x)=f-1(
    x+1
    x+2
    )，是否存在实数b    ，使得任给a∈[
    1
    4
    ，
    1
    3
    ]，对任意x∈(0，+∞)．不等式g(x)＞x-ax2    +b恒成立？若存在，求b的取值范围；若不存在，说明理由．

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    科目：高中数学 来源： 题型：

    （2012•海淀区一模）已知函数f（x）=
    1，x∈Q
    0，x∈CRQ
    ，则f（f（x））=
    1
    1

    下面三个命题中，所有真命题的序号是
    ①②③
    ①②③
    ．
    ①函数f（x）是偶函数；
    ②任取一个不为零的有理数T，f（x+T）=f（x）对x∈R恒成立；
    ③存在三个点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2）），C（x3，f（x3）），使得△ABC为等边三角形．

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