Question

设向量

i

，

j

为直角坐标系的x轴、y轴正方向上的单位向量，若向量

a

=(x+3)

i

+y

j

，

b

=(x-3)

i

+y

j

，且|

a

|-|

b

|=2，则满足上述条件的点P（x，y）的轨迹方程是

 

．

Answer 1

分析：利用已知条件得出向量的坐标是解决本题的关键，然后利用已知条件向量长度的关系得出x，y的关系式，进而求出点P（x，y）的轨迹方程．

解答：解：由题意得出

a

=(x+3，y)，

b

=(x-3，y)满足|

a

|-|

b

|=2，则得出

(x+3)2+y2

-

(x-3)2+y2

=2
表示点P（x，y）与点（-3，0）之间的距离减去点P（x，y）与点（3，0）距离的差为2（定植），并且该定值小于点（-3，0）与点（3，0）之间的距离，故该动点P在以点（-3，0）、点（3，0）为焦点的双曲线右支上，并且实轴长为2，因此虚半轴长为

32-1

=

8

，故所求的点P（x，y）的轨迹方程是x2-

y2

8

=1(x＞0)或者（x≥1）．
故答案为：x2-

y2

8

=1(x＞0)或者（x≥1）．

点评：本题考查动点轨迹方程的求法，考查学生的转化与化归思想，关键要通过向量坐标得出动点的坐标满足的曲线类型，利用圆锥曲线的定义求出所要求的轨迹方程．