Question

1．如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，已知A₁C₁⊥B₁C₁，CC₁=2BC=2．
（1）当AC=2时，求异面直线BC₁与AB₁所成角的余弦值；
（2）若直线AB₁与平面A₁BC₁所成角的正弦值为$\frac{2}{5}$，求AC的长．

Answer 1

分析 （1）以C₁为原点，C₁A₁为x轴，C₁B₁为y轴，C₁C为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线BC₁与AB₁所成角的余弦值．
（2）设AC=a，求出平面A₁C₁B的法向量，由直线AB₁与平面A₁BC₁所成角的正弦值为$\frac{2}{5}$，利用向量法能求出AC．

解答 解：（1）∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，A₁C₁⊥B₁C₁，CC₁=2BC=2，
∴以C₁为原点，C₁A₁为x轴，C₁B₁为y轴，C₁C为z轴，建立空间直角坐标系，
∵AC=2，∴B（0，1，0），C₁（0，0，0），A（2，0，2），B₁（0，1，0），
∴$\overrightarrow{B{C}_{1}}$=（0，-1，-2），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（-2，1，-2），
设异面直线BC₁与AB₁所成角为θ，
则cosθ=|cos＜$\overrightarrow{B{C}_{1}}$，$\overrightarrow{A{B}_{1}}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{B{C}_{1}}•\overrightarrow{A{B}_{1}}|}{|\overrightarrow{B{C}_{1}}|•|\overrightarrow{A{B}_{1}}|}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴异面直线BC₁与AB₁所成角的余弦值$\frac{\sqrt{5}}{\;}5$．
（2）设AC=a，则A₁（a，0，0），B（0，1，2），C₁（0，0，0），
B₁（0，1，0），A（a，0，2），
$\overrightarrow{{C}_{1}{A}_{1}}$=（a，0，0），$\overrightarrow{{C}_{1}B}$=（0，1，2），$\overrightarrow{A{B}_{1}}$=（-a，1，-2），
设平面A₁C₁B的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}{A}_{1}}=ax=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{C}_{1}B}=y+2z=0}\end{array}\right.$，取y=2，得$\overrightarrow{n}$=（0，2，-1），
∵直线AB₁与平面A₁BC₁所成角的正弦值为$\frac{2}{5}$，
∴$\frac{|\overrightarrow{A{B}_{1}}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{A{B}_{1}}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4}{\sqrt{5+{a}^{2}}•\sqrt{5}}$=$\frac{2}{5}$，
解得a=$\sqrt{15}$．
∴AC=$\sqrt{15}$．

点评 本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．