Question

已知函数f(x)=a-

2

2x+1

是奇函数（a∈R）．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）试判断函数f（x）在（-∞，+∞）上的单调性，并证明你的结论；
（Ⅲ）若对任意的t∈R，不等式f（t²-（m-2）t）+f（t²-m-1）＜0恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先将函数变形，再由奇函数探讨f（-x）=-f（x），用待定系数法求解．
（Ⅱ）用定义求解，先在区间上任取两个变量，且界定大小，再作差变形看符号，要注意变形到位．
（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，且是奇函数．将f（t²-（m-2）t）+f（t²-m-1）＜0对任意t∈R恒成立，转化为2t²-（m-2）t-（m+1）＜0对任意t∈R恒成立．再用判别式法求解．

解答：解：（Ⅰ）由题意可得：f（x）=

a2x+a-2

2x+1

∵f（x）是奇函数∴f（-x）=-f（x）
即

a2-x+a-2

2-x+1

=-

a2x+a-2

2x+1

a+(a-2)2x

2x+1

=-

a2x+a-2

2x+1

∴a-2=a，即a=1（4分）
即f(x)=1-

2

2x+1

（Ⅱ）设x₁，x₂为区间（-∞，+∞）内的任意两个值，且x₁＜x₂，
则0＜2x1＜2x2，2x1-2x2＜0，
∵f（x₁）-f（x₂）=

2

2x2+1

-

2

2x1+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

＜0
即f（x₁）＜f（x₂）∴f（x）是（-∞，+∞）上的增函数．（10分）

（Ⅲ）由（Ⅰ）、（Ⅱ）知，f（x）是（-∞，+∞）上的增函数，且是奇函数．
∵f（t²-（m-2）t）+f（t²-m-1）＜0
∴f（t²-（m-2）t）＜-f（t²-m-1）=f（-t²+m+1）
∴t²-（m-2）t＜-t²+m+1（13分）
即2t²-（m-2）t-（m+1）＜0对任意t∈R恒成立．
只需△=（m-2）²+4×2（m+1）=m²+4m+12＜0，
解之得m∈∅（16分）

点评：本题主要考查函数的奇偶性，单调性的判断与证明以及用判别式求解恒成立问题．