Question

设集合A={x∈R|x²-4x=0}，集合B={x∈R|x²-2（a+1）x+a²-1=0}，
（1）若B=∅，求实数a的取值范围；
（2）若B≠∅，且A∩B=B，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）利用B=∅，说明方程无解，利用判别式求解．
（2）将A∩B=B，转化为B⊆A，然后进行求解．

解答：解：（1）因为B=∅，所以，关于x的方程x²-2（a+1）x+a²-1=0无实数根，
由于△=[-2（a+1）]²-4（a²-1）=8（a+1）
所以8（a+1）＜0，即a＜-1．
所以B=∅时，实数a的取值范围是a＜-1；     …（3分）
（2）因为A∩B=B，所以B⊆A={0，4}，
又B≠∅，所以
①当B={0}或{4}时，关于x的方程x²-2（a+1）x+a²-1=0有两个相等的实数根，
即△=0，解得a=-1，经检验，适合题意；        …（5分）
②当B={0，4}时，关于x的方程x²-2（a+1）x+a²-1=0有两个不相等的实数根，且两根为0和4，
故有

△＞0 0+4=2(a+1) 0×4=a2-1

，解得a=1，经检验，适合题意； …（7分）
所以，B≠∅，且A∩B=B时，实数a的取值范围是a=±1．…（8分）

点评：本题主要考查了，利用集合的关系求参数问题，利用集合关系确定两个集合元素的关系是解决本题的关键．