Question

【题目】已知椭圆E： + =1（a＞b＞0）的离心率为 ，四边形ABCD的各顶点均在椭圆E上，且对角线AC，BD均过坐标原点O，点D（2，1），AC，BD的斜率之积为 ．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过D作直线l平行于AC．若直线l′平行于BD，且与椭圆E交于不同的两点M．N，与直线l交于点P．
⑴证明：直线l与椭圆E有且只有一个公共点；
⑵证明：存在常数λ，使得|PD|2=λ|PM||PN|，并求出λ的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意 ，解得 ．

故椭圆E的方程为 ；

证明：（Ⅱ）（1）由题意 ，

∵ ，得 ，则直线l的方程为 ，

联立 ，化简得x2﹣4x+4=0．

∵判别式△=0，∴直线l与椭圆E有且只有一个公共点；

⑵设直线l′的方程为y= （m≠0）．

联立方程组 ，解得 ．故点P坐标为（2﹣m， ）， ．

联立方程组 ，化简得x2+2mx+2m2﹣4=0．

设点M（x1，y1），N（x2，y2）．

判别式△=4（﹣m2+4）＞0，得﹣2＜m＜2．

又 ．

∴|PM|= ．

同理， ．

故|PM||PN|= = = ．

∵|PD|2=λ|PM||PN|，解得λ=1．

故存在常数λ为1，使得|PD|2=λ|PM||PN|．

【解析】1、（Ⅰ）本题考查的是用待定系数法求椭圆的方程。
（Ⅱ） 由题意 k A C k B D = 1 4 ，∵ ，得 ，则直线l的方程为 ，

联立 ，化简得x2﹣4x+4=0．∵判别式△=0，∴直线l与椭圆E有且只有一个公共点；
2、联立两直线的方程可得故点P坐标为（2﹣m， 1 + ），.再联立直线和椭圆的方程化简得x2+2mx+2m2﹣4=0．

设点M（x1，y1），N（x2，y2）．判别式△=4（﹣m2+4）＞0，得﹣2＜m＜2．又 ．

∴|PM|= ( 2 m x 1) 2 + ( 1 + m 2 y 1) 2 = | 2 m x 1 |即.故|PM||PN|= .

∵|PD|2=λ|PM||PN|，解得λ=1．故存在常数λ为1，使得|PD|2=λ|PM||PN|．