Question

已知定义在实数集R上的偶函数f（x）上在（0，+∞）为单调增函数．
（1）判别f（x）在（-∞，0]上的单调性并加以证明；
（2）若f（1）＜f（log₃（x-2）），求x的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由已知中函数f（x）是定义在实数集R上的偶函数，根据偶函数在对称区间上单调性相反，结合f（x）上在（0，+∞）为单调增函数，易判断f（x）在（-∞，0]上的单调性，根据单调性的定义即可证明结论．
（2）根据（1）中的单调性，我们易将f（1）＜f（log₃（x-2）），转化为一个对数不等式，结合对数函数的性质可进而转化为一个整式不等式，解不等式即可得到答案．

解答：解：（1）f（x）在（-∞，0]上为单调减函数，理由如下：
任取区间（-∞，0]上两个数a，b，且a＜b≤0
则0≤-b＜-a
∵函数f（x）上在（0，+∞）为单调增函数
∴f（-b）＜f（-a）
又∵函数f（x）是定义在实数集R上的偶函数
∴f（-b）=f（b），f（-a）=f（a）
故f（b）＜f（a）
即f（x）在（-∞，0]上为单调减函数
（2）由（1）中结论
f（1）＜f（log₃（x-2））可化为：
log₃（x-2）＞1，或log₃（x-2）＜-1
即x-2＞3或0＜x-2＜

1

3

解得：x＞5或2＜x＜

7

3

故x的取值范围为：x＞5或2＜x＜

7

3

．

点评：本题考查的知识点是函数的单调性的判断与证明，函数单调性的应用，及对数的运算性质，其中利用偶函数在对称区间上单调性相反，判断别f（x）在（-∞，0]上的单调性是解答本题的关键．