Question

已知0＜a＜1，函数f（x）=log_a（x+1），g（x）=2log_a（2x+t）（t∈R）．
（1）若1是关于x的方程f（x）-g（x）=0的一个解，求t的值；
（2）当t=-1时，解不等式f（x）≤g（x）；
（3）若函数F（x）=a^f（x）+tx²+2t+1在区间（-1，2]上有零点，求t的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（1）-g（1）=0，即可求得t的值；
（2）当t=-1时，f（x）≤g（x）即log_a（x+1）≤2log_a（2x-1），利用对数函数的单调性可得真数间的大小关系，注意对数函数的定义域；
（3）分情况讨论：当F（x）的零点为2时，可得F（2）=0求得t值；当F（x）在（-1，2）内有零点时，根据函数零点判定定理可得不等式，解出即可；

解答：解：（1）f（x）-g（x）=0，即log_a（x+1）-2log_a（2x+t）=0，
∵1是关于x的方程f（x）-g（x）=0的一个解，
∴log_a（1+1）-2log_a（2×1+t）=0，即loga

2

(2+t)2

=0，
∴

2

(2+t)2

=1，解得t=-2±

2

；
（2）当t=-1时，f（x）≤g（x）即log_a（x+1）≤2log_a（2x-1），
也即log_a（x+1）≤log_a（2x-1）²，
又0＜a＜1，则x+1≥（2x-1）²①，且x+1＞0②，2x-1＞0③，
联立①②③，解得

1

2

＜x＜≤

5

4

，
∴不等式f（x）≤g（x）的解集为：（

1

2

，

5

4

]；
（3）F（x）=a^f（x）+tx²+2t+1=alog_a（x+1）+tx²+2t+1=x+1+tx²+2t+1=tx²+x+2t+2，
若x=2是F（x）的零点，则有F（2）=0，即4t+2+2t+2=0，6t+4=0，解得t=-

2

3

；
若F（x）在（-1，2）内有零点，则有F（-1）F（2）＜0，即（t-1+2t+2）（4t+2+2t+2）＜0，
整理得（3t+1）（6t+4）＜0，解得-

2

3

＜t＜-

1

3

；
综上所述，-

2

3

≤t＜-

1

3

，
故要使函数F（x）=a^f（x）+tx²+2t+1在区间（-1，2]上有零点，t的取值范围为：-

2

3

≤t＜-

1

3

．

点评：本题考查函数零点判定定理、对数不等式的解法，属中档题，解对数不等式要注意考虑对数函数定义域．