Question

9．已知函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$（a为非零实数）
（1）判断f（x）的奇偶性，并加以证明；
（2）当a=4时，?①用定义证明f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增；
?②写出f（x）在（-∞，0）的单调区间（不用加以证明）

Answer 1

分析 （1）判断函数的奇偶性，利用奇偶性的定义证明即可．
（2）①利用函数的单调性的定义证明即可．②集合函数的单调性，写出单调区间即可．

解答 解：（1）函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$是奇函数…（1分）
函数f（x）=x+$\frac{a}{x}$的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），关于原点对称…（2分）
且f（-x）=-x-$\frac{a}{x}$=-（x+$\frac{a}{x}$）=-f（x）…（3分）
∴f（x）是奇函数…（4分）
（2）?①任取x₁，x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
则$f（{x_2}）-f（{x_1}）={x_2}+\frac{4}{x_2}-{x_1}-\frac{4}{x_1}=（{x_2}-{x_1}）+\frac{{4（{x_1}-{x_2}）}}{{{x_1}{x_2}}}$=$（{x_2}-{x_1}）（1-\frac{4}{{{x_1}{x_2}}}）=\frac{{（{x_2}-{x_1}）（{x_1}{x_2}-4）}}{{{x_1}{x_2}}}$…（6分）
当0＜x₁＜x₂＜2时，x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0
∴f（x₂）-f（x₁）＜0，即f（x₁）＞f（x₂）．∴f（x）在（0，2）上单调递减；…（8分）
当2＜x₁＜x₂时，x₂-x₁＞0，x₁x₂-4＞0，x₁x₂＞0∴f（x₂）-f（x₁）＞0，即f（x₁）＜f（x₂）．∴f（x）在（2，+∞）上单调递增；…（10分）
②?∵f（x）Z是奇函数，f（x）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，
∴f（x）在（-2，0）上单调递减，在（-∞，-2）上单调递增；…（12分）

点评 本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用，考查转化思想以及计算能力．