Question

16．正项数列{a_n}满足：a_n²+（1-n）a_n-n=0，若b_n=$\frac{1}{（n+1）{a}_{n}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，则T₂₀₁₆=$\frac{2016}{2017}$．

Answer 1

分析 通过分解因式，利用正项数列{a_n}，直接求数列{a_n}的通项公式a_n；利用数列的通项公式化简b_n，利用裂项法直接求数列{b_n}的前n项和T_n，即可得出结论．

解答 解：由正项数列{a_n}满足a_n²+（1-n）a_n-n=0，
可得（a_n-n）（a_n+1）=0，
所以a_n=n．
所以b_n=$\frac{1}{（n+1）{a}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
T_n=1-$\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$=1-$\frac{1}{n+1}$，
所以T₂₀₁₆=1-$\frac{1}{2017}$=$\frac{2016}{2017}$，
故答案为：$\frac{2016}{2017}$．

点评 本题考查数列的通项公式的求法，裂项法求解数列的和的基本方法，考查计算能力．