Question

在平面直角坐标系xOy中，已知对于任意实数k，直线(k＋1)x＋(k－)y－(3k＋)＝0恒过定点F.设椭圆C的中心在原点，一个焦点为F，且椭圆C上的点到F的最大距离为2＋.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设(m，n)是椭圆C上的任意一点，圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)与椭圆C有4个相异公共点，试分别判断圆O与直线l1：mx＋ny＝1和l2：mx＋ny＝4的位置关系．

 

Answer 1

（1）＋y2＝1.（2）直线l1与圆O相交，直线l2与圆O相离．

【解析】(1)由(k＋1)x＋(k－)y－(3k＋)＝0整理

得(x＋y－3)k＋(x－y－)＝0，

解方程组得F(，0)．

设椭圆C的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c，则由题设知于是a＝2，b＝1. 所以椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)因为圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)与椭圆C有4个相异公共点，所以b＜r＜a，即1＜r＜2.

因为点(m，n)是椭圆＋y2＝1上的点，所以＋n2＝1，

且－2≤m≤2.所以∈[1,2]．

于是圆心O到直线l1的距离d1＝≤1＜r，

圆心O到直线l2的距离d2＝≥2＞r.

故直线l1与圆O相交，直线l2与圆O相离