Question

19．在平面直角坐标系xOy中，已知向量$\overrightarrow{a}$=（2，0），$\overrightarrow{b}$=（0，1）．设向量$\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}$+（1+cosθ）$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{y}$=-k$\overrightarrow{a}$+sin²θ•$\overrightarrow{b}$
（1）若$\overrightarrow{x}$∥$\overrightarrow{y}$，且θ=$\frac{π}{3}$求实数k的值；
（2）若$\overrightarrow{x}$⊥$\overrightarrow{y}$，且θ=$\frac{2π}{3}$，求实数k的值．

Answer 1

分析 （1）求出向量，然后利用向量共线列出方程，求解即可．
（2）利用向量垂直，列出关系式求解即可．

解答 解：（1）当$θ=\frac{π}{3}$时，$\overrightarrow x=（{2，\frac{3}{2}}）$，$\overrightarrow y=（{-2k，\frac{3}{4}}）$，
因为$\overrightarrow x$∥$\overrightarrow y$，所以$2×\frac{3}{4}=-2k×\frac{3}{2}$，所以k=-$\frac{1}{2}$．…（6分）
（2）当$θ=\frac{2π}{3}$时，$\overrightarrow x=（{2，0}）+\frac{1}{2}（{0，1}）=（{2，\frac{1}{2}}）$，$\overrightarrow{y}$=（-2k，$\frac{3}{4}$），
因为$\overrightarrow{x}$⊥$\overrightarrow{y}$，所以$2•（{-2k}）+\frac{1}{2}•\frac{3}{4}=0$，所以$k=\frac{3}{32}$…（12分）．

点评 本题考查向量共线与垂直的充要条件的应用，向量的坐标运算，考查计算能力．