Question

已知有穷数列{a_n}各项均不相等，将{a_n}的项从大到小重新排序后相应的项数构成新数列{p_n}，称{p_n}为{a_n}的“序数列”，例如数列：a₁，a₂，a₃满足a₁＞a₃＞a₂，则其序数列{p_n}为1，3，2；
（1）写出公差为d（d≠0）的等差数列a₁，a₂，…，a_n的序数列{p_n}；
（2）若项数不少于5项的有穷数列{b_n}、{c_n}的通项公式分别是bn=n•(

3

5

)n（n∈N^*），cn=-n2+tn（n∈N^*），且{b_n}的序数列与{c_n}的序数列相同，求实数t的取值范围；
（3）若有穷数列{d_n}满足d₁=1，|dn+1-dn|=(

1

2

)n（n∈N^*），且{d_2n-1}的序数列单调递减，{d_2n}的序数列单调递增，求数列{d_n}的通项公式．

Answer 1

考点：等差数列的性质,等比数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由新定义当d＜0时，序数列为1，2，3，…，n；当d＞0时，序数列为n，n-1，n-2，…，3，2，1；
（2）由题意可得b₂＞b₃＞b₁＞b₄＞…＞b_n，可得序数列为2，3，1，4，…，n，进而可得2＜

t

2

＜

5

2

，解不等式可得；
（3）由{d_2n-1}的序数列单调递减可得d_2n-d_2n-1=(

1

2

)2n-1=

(-1)2n

22n-1

，同理可得d_2n+1-d_2n=-(

1

2

)2n=

(-1)2n+1

22n

，进而可得d_n+1-d_n=

(-1)n+1

2n

，可得d_n=d₁+（d₂-d₁）+（d₃-d₂）+…+（d_n-d_n-1）=1+

1

2

-

1

22

+…+

(-1)n

2n-1

=1+

1

2

•

1-(- 1 2 )n-1

1+ 1 2

=

4

3

+

1

3

•

(-1)n

2n-1

，既得答案．

解答： 解：（1）由题意，当d＜0时，序数列为1，2，3，…，n；
当d＞0时，序数列为n，n-1，n-2，…，3，2，1；

（2）∵bn=n•(

3

5

)n，∴b_n+1-b_n=(

3

5

)n

3-2n

5

，
当n=1时，易得b₂＞b₁，当n≥2时，易得b_n+1＜b_n，
又∵b₁=

3

5

，b₃=3•（

3

5

）³，b₄=4•（

3

5

）⁴，b₄＜b₁＜b₃，
即b₂＞b₃＞b₁＞b₄＞…＞b_n，
故数列{b_n}的序数列为2，3，1，4，…，n，
∴对于数列{c_n}有2＜

t

2

＜

5

2

，解得4＜t＜5；

（3）∵{d_2n-1}的序数列单调递减，∴数列{d_2n-1}单调递增，
∴d_2n+1-d_2n-1＞0，∴（d_2n+1-d_2n）+（d_2n-d_2n-1）＞0，
而(

1

2

)2n＜(

1

2

)2n-1，∴|d_2n+1-d_2n|＜|d_2n-d_2n-1|，∴d_2n-d_2n-1＞0，
∴d_2n-d_2n-1=(

1

2

)2n-1=

(-1)2n

22n-1

，①
∵{d_2n}的序数列单调递增，∴数列{d_2n}单调递减，
同理可得d_2n+1-d_2n＜0，∴d_2n+1-d_2n=-(

1

2

)2n=

(-1)2n+1

22n

，②
由①②可得d_n+1-d_n=

(-1)n+1

2n

，
∴d_n=d₁+（d₂-d₁）+（d₃-d₂）+…+（d_n-d_n-1）
=1+

1

2

-

1

22

+…+

(-1)n

2n-1

=1+

1

2

•

1-(- 1 2 )n-1

1+ 1 2

=

4

3

+

1

3

•

(-1)n

2n-1

即数列{d_n}的通项公式为d_n=

4

3

+

1

3

•

(-1)n

2n-1

点评：本题考查等差数列和等比数列的性质，涉及新定义和不等式的性质，属中档题．