Question

函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）的图象关于直线x=-

b

2a

对称．据此可推测，对任意的非零实数a，b，c，m，n，p，关于x的方程m[f（x）]²+nf（x）+p=0的解集都不可能是（　　）

• A、{1，2}
• B、{1，4}
• C、{1，2，3，4}
• D、{1，4，16，64}

Answer 1

分析：根据函数f（x）的对称性，因为m[f（x）]²+nf（x）+p=0的解应满足y₁=ax²+bx+c，y₂=ax²+bx+c，
进而可得到方程m[f（x）]²+nf（x）+p=0的根，应关于对称轴x=-

b

2a

对称，对于D中4个数无论如何组合都找不到满足条件的对称轴，故解集不可能是D．

解答：解：∵f（x）=ax²+bx+c的对称轴为直线x=-

b

2a

令设方程m[f（x）]²+nf（x）+p=0的解为f₁（x），f₂（x）
则必有f₁（x）=y₁=ax²+bx+c，f₂（x）=y₂=ax²+bx+c
那么从图象上看，y=y₁，y=y₂是一条平行于x轴的直线
它们与f（x）有交点
由于对称性，则方程y₁=ax²+bx+c的两个解x₁，x₂要关于直线x=-

b

2a

对称
也就是说x₁+x₂=-

b

a

同理方程y₂=ax²+bx+c的两个解x₃，x₄也要关于直线x=-

b

2a

对称
那就得到x₃+x₄=-

b

a

，
在C中，可以找到对称轴直线x=2.5，
也就是1，4为一个方程的解，2，3为一个方程的解
所以得到的解的集合可以是{1，2，3，4}
而在D中，{1，4，16，64}
找不到这样的组合使得对称轴一致，
也就是说无论怎么分组，
都没办法使得其中两个的和等于另外两个的和
故答案D不可能
故选D．

点评：本题主要考查二次函数的性质--对称性，二次函数在高中已经作为一个工具来解决有关问题，在解决不等式、求最值时用途很大．