Question

定义在区间（-1，1）上的函数f（x）是递减的，且满足f（x）+f（-x）=0，如果f（1-a）+f（1-a²）＜0，求a的取值范围．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合,函数单调性的性质

专题：计算题,函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：运用奇偶性和单调性，原不等式即为f（1-a²）＜-f（1-a）=f（a-1），则有

-1＜1-a2＜1 -1＜1-a＜1 1-a2＞a-1

，分别解出它们，再求交集即可．

解答： 解：由于f（x）+f（-x）=0，
则-f（x）=f（-x），
f（1-a）+f（1-a²）＜0，即为
f（1-a²）＜-f（1-a）=f（a-1），
由于在区间（-1，1）上的函数f（x）是递减的，
则

-1＜1-a2＜1 -1＜1-a＜1 1-a2＞a-1

即

- 2 ＜a＜ 2 且a≠0 0＜a＜2 -2＜a＜1

，
解得0＜a＜1．
则a的取值范围是（0，1）．

点评：本题考查函数的单调性和奇偶性的运用：解不等式，注意定义域的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．