Question

已知函数f(x)=loga

1-mx

x+1

（a＞0，a≠1，m≠-1），是定义在（-1，1）上的奇函数．
（I）求f（0）的值和实数m的值；
（II）当m=1时，判断函数f（x）在（-1，1）上的单调性，并给出证明；
（III）若f(

1

2

)＞0且f（b-2）+f（2b-2）＞0，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析：（I）直接把0代入即可求出f（0）的值；再结合f（-x）+f（x）=0对定义域内的所有自变量成立即可求出实数m的值；
（II）先研究真数的单调性，再结合复合函数的单调性即可判断函数f（x）在（-1，1）上的单调性；
（III）先根据f(

1

2

)＞0得到a的范围；再结合其为奇函数把f（b-2）+f（2b-2）＞0转化为f（b-2）＞f（2-2b），结合第二问的单调性即可求出实数b的取值范围．

解答：解：（I）∵f（0）=log_a¹=0．
因为f（x）是奇函数，
所以：f（-x）=-f（x）⇒f（-x）+f（x）=0
∴log_a 

mx+1

-x+1

+log_a

1-mx

x+1

=0；
∴log_a 

mx+1

-x+1

•

1-mx

x+1

=0⇒

mx+1

-x+1

•

1-mx

x+1

=1，
即∴1-m²x²=1-x²对定义域内的x都成立．∴m²=1．
所以m=1或m=-1（舍）
∴m=1．
（II）∵m=1
∴f（x）=log_a 

1-x

x+1

；
设t=

1-x

x+1

=

-(x+1)+2

x+1

=-1+

2

x+1

设-1＜x₁＜x₂＜1，则t1-t2=

2

x1+1

-

2

x2+1

=

2(x2-x1)

(x1+1)(x2+1)

∵-1＜x₁＜x₂＜1∴x₂-x₁＞0，（x₁+1）（x₂+1）＞0
∴t₁＞t₂．
 当a＞1时，log_at₁＞log_at₂，
即f（x₁）＞f（x₂）．
∴当a＞1时，f（x）在（-1，1）上是减函数．
当0＜a＜1时，log_at₁＜log_at₂，即f（x₁）＜f（x₂）．
∴当0＜a＜1时，f（x）在（-1，1）上是增函数．
（III）由f（b-2）+f（2b-2）＞0
得f（b-2）＞-f（2b-2），
∵函数f（x）是奇函数
∴f（b-2）＞f（2-2b）
f(

1

2

)=loga

1

3

＞0，
∴0＜a＜1
由（II）得f（x）在（-1，1）上是增函数
∴

b-2＞2-2b -1＜b-2＜1 -1＜2b-2＜1

∴

4

3

＜b＜

3

2

∴b的取值范围是(

4

3

，

3

2

)

点评：本题主要考察对数函数图象与性质的综合应用．本题第二问涉及到复合函数的单调性，复合函数的单调性遵循原则是：同增异减．