Question

某商场为了了解顾客的购物信息，随机的在商场收集了100位顾客购物的相关数据，整理如下：

一次购物款（单位：元）	[0，50）	[50，100）	[100，150）	[150，200）	[200，+∞）
顾客人数	m	20	30	n	10

统计结果显示：100位顾客中购物款不低于100元的顾客占60%．据统计该商场每日大约有5000名顾客，为了增加商场销售额度，对一次性购物不低于100元的顾客发放纪念品（每人一件）．（注：视频率为概率）
（Ⅰ）试确定m，n的值，并估计该商场每日应准备纪念品的数量；
（Ⅱ）现有4人去该商场购物，求获得纪念品的人数ξ的分布列与数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,互斥事件的概率加法公式

专题：综合题,概率与统计

分析：（Ⅰ）由100位顾客中购物款不低于100元的顾客人数等于100×60%列式求得n的值，再由5组中的人数和等于100求得m的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知1人购物获得纪念品的频率即为概率P=

60

100

=

3

5

，故4人购物获得纪念品的人数ξ服从二项分布B（4，

3

5

），求出相应的概率，即可求获得纪念品的人数ξ的分布列与数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）由已知，100位顾客中购物款不低于100元的顾客有n+10+30=100×60%，
解得：n=20；
∴m=100-（20+30+20+10）=20．
该商场每日应准备纪念品的数量大约为5000×

60

100

=3000件．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知1人购物获得纪念品的频率即为概率P=

60

100

=

3

5

…（5分）
故4人购物获得纪念品的人数ξ服从二项分布B（4，

3

5

）
P（ξ=0）=

C

0 4

(

3

5

)0(

2

5

)4=

16

625

，P（ξ=1）=C₄¹（

3

5

）¹（

2

5

）³=

96

625

，P（ξ=2）=C₄²（

3

5

）²（

2

5

）²=

216

625

，
P（ξ=3）=C₄³（

3

5

）³（

2

5

）¹=

216

625

，P（ξ=4）=C₄⁴（

3

5

）⁴（

2

5

）⁰=

81

625

，
∴ξ的分布列为

ξ	0	1	2	3	4
P	16 625	96 625	216 625	216 625	81 625

…（11分）
∴ξ数学期望为Eξ=0×

16

625

+1×

96

625

+2×

216

625

+3×

216

625

+4×

81

625

=

12

5

．…（12分）

点评：本题考查概率知识的应用，考查分布列与数学期望，考查学生的计算能力，正确计算概率是关键．