Question

如图，A，B是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右顶点，椭圆C的离心率为

1

2

，右准线l的方程为x=4．
（I）求椭圆的方程；
（II）设M是椭圆C上异于A，B的一点，直线AM交l于点P，以MP为直径的圆记为⊙k．
（i）若M恰好是椭圆C的上顶点，求⊙k截直线PB所得的弦长；
（ii）设⊙k与直线MB交于点Q，试证明：直线PQ与x轴的交点R为定点，并求该定点的坐标．

Answer 1

分析：（I）由离心率为

1

2

，得

c

a

=

1

2

，由右准线l的方程为x=4，得

a2

c

=4．再根据b²=a²-c²联立方程组解出即可；
（II）（i）由条件易求直线AM的方程，从而可得P点坐标，进而可求得⊙k的方程，求出圆心到直线PB的距离，利用勾股定理即可求得弦长一半；（ii）设M（x₀，y₀）（y₀≠0），可表示出直线AM的方程，进而表示出P的坐标，由MB⊥PR可求得直线PR的方程，令y=0即可得打点R的横坐标，再根据点M在椭圆上即可求得x_R值，从而可证明结论；

解答：解：（I）由题意得，

c a = 1 2 a2 c =4

，解得

a=2 c=1

，又b²=a²-c²=3，
故所求椭圆的方程为

x2

4

+

y2

3

=1；
（II）（i）因为M（0，

3

），所以直线AM的方程为y=

3

2

x+

3

，
则点P的坐标为P（4，3

3

），从而⊙k的方程为(x-2)2+(y-2

3

)2=7，其圆心为（2，2

3

），半径为

7

，
又直线PB的方程为3

3

x-2y-6

3

=0，
故圆心到直线PB的距离为

4 3

31

，从而截直线PB所得的弦长为2

7-( 4 3 31 )2

=

26 31

31

；
（ii）证明：设M（x₀，y₀）（y₀≠0），则直线AM的方程为y=

y0

x0+2

(x+2)，则点P的坐标为P（4，

6y0

x0+2

），
又直线MB的斜率为K_MB=

y0

x0-2

，而MB为直径，所以MB⊥PR，所以KPR=-

x0-2

y0

，从而直线PR的方程为y-

6y0

x0+2

=-

x0-2

y0

(x-4)，
令y=0，得点R的横坐标为xR=4+

6y02

x02-4

，
又点M在椭圆上，所以

x02

4

+

y02

3

=1，即y02=

3(4-x02)

4

，故x_R=4-6×

3

4

=-

1

2

，
所以直线PQ与x轴的交点R为定点，且该定点的坐标为（-

1

2

，0）．

点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、椭圆方程的求解及直线方程求法，考查学生综合运用所学知识分析问题解决问题的能力，综合性强，有一定难度．