Question

已知公差不为零的等差数列{a_n}中，a₁=1，且a₁，a₃，a₁₃成等比数列．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设bn=2an，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析：（1）利用等差数列的通项公式表示出相应的项，待定系数法设出公差，根据a₁，a₃，a₁₃成等比数列列出关于公差的方程，通过求解该方程求出公差，进而写出该数列的通项公式；
（2）根据数列{a_n}的通项公式写出数列{b_n}的通项公式吗，发现该数列是等比数列，利用等比数列求和公式求出其前n项和．

解答：解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d（d≠0），
由a₁，a₃，a₁₃成等比数列，得a₃²=a₁•a₁₃，
即（1+2d）²=1+12d
得d=2或d=0（舍去）．故d=2，
所以a_n=2n-1
（2）∵bn=2an=22n-1，
所以数列{b_n}是以2为首项，4为公比的等比数列．
∴S_n=2+2³+2⁵+…+2^2n-1=

2(1-4n)

1-4

=

2

3

(4n-1)

点评：本题考查待定系数法，考查学生对等差数列通项公式的理解能力，要求学生掌握等比数列的结构特征，能判断一个数列是否为等比数列，并能根据等比数列求和公式求出该数列的前n项和．