Question

1．已知ω，t＞0，函数$f（x）=|{\begin{array}{l}{\sqrt{3}}&{sinωx}\\ 1&{cosωx}\end{array}}|$的最小正周期为2π，将f（x）的图象向左平移t个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则t的最小值为$\frac{5π}{6}$．

Answer 1

分析 由题意得到函数解析式，利用辅助角公式化积后结合周期求得ω，再由函数图象的平移求得平移后的函数解析式，结合平移后的函数为偶函数求出t的取值集合得答案．

解答 解：$f（x）=|{\begin{array}{l}{\sqrt{3}}&{sinωx}\\ 1&{cosωx}\end{array}}|$=$\sqrt{3}cosωx-sinωx$=$-2sin（ωx-\frac{π}{3}）$．
∵f（x）的最小正周期为2π，∴$\frac{2π}{ω}=2π$，得ω=1．
将f（x）的图象向左平移t个单位，得f（x+t）=$-2sin（x+t-\frac{π}{3}）$．
∵函数f（x+t）为偶函数，
∴$t-\frac{π}{3}=\frac{π}{2}+kπ$，则t=$\frac{5π}{6}+kπ，k∈Z$．
取k=0时，t的最小值为$\frac{5π}{6}$．
故答案为：$\frac{5π}{6}$．

点评 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查了三角函数的图象平移，训练了函数奇偶性的求法，是中档题．