已知函数=0．(Ⅰ)试用含有a的式子表示b.并求f(x)的极值,图象上的不同两点A(x1.y1).B(x2.y2).如果在函数图象上存在点M(x.y)(其中x∈(x1.x2)).使得点M处的切线l∥AB.则称AB存在“伴随切线．特别地.当时.又称AB存在“中值伴随切线．试问:在函数f(x)的图象上是否存在两点A.B使得它存在“中值伴随切线 .若存在.求出A.B的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知函数

（a＞0），且f′（1）=0．
（Ⅰ）试用含有a的式子表示b，并求f（x）的极值；
（Ⅱ）对于函数f（x）图象上的不同两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），如果在函数图象上存在点M（x，y）（其中x∈（x₁，x₂）），使得点M处的切线l∥AB，则称AB存在“伴随切线”．特别地，当

时，又称AB存在“中值伴随切线”．试问：在函数f（x）的图象上是否存在两点A、B使得它存在“中值伴随切线”，若存在，求出A、B的坐标，若不存在，说明理由．

【答案】分析：（Ⅰ）求出f′（x）根据且f'（1）=0求出a和b的关系即可，根据自变量的取值范围及a＞0，令导函数大于0得到函数的增区间，令导函数小于0得到函数的减区间，根据增减性得到函数的极值即可；
（Ⅱ）不存在，设两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），代入到函数关系式中，然后求出直线AB的斜率，并求出在M的切线的斜率，两者相等得到等式，化简后令其左边设为函数g（t），求出函数g（t）的最小值，这表明在函数f（x）上不存在两点A、B使得它存在“中值伴随切线”．
解答：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），∵

，f'（1）=1-a+b=0，∴b=a-1．
代入

，得

．
当f'（x）＞0时，

，由x＞0，得（ax+1）（x-1）＜0，
又a＞0，∴0＜x＜1，即f（x）在（0，1）上单调递增；
当f'（x）＜0时，

，由x＞0，得（ax+1）（x-1）＞0，
又a＞0，∴x＞1，即f（x）在（1，+∞）上单调递减．
∴f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
所以，当x=1时，f（x）的极大值为

（Ⅱ）在函数f（x）的图象上不存在两点A、B使得它存在“中值伴随切线”．
假设存在两点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），不妨设0＜x₁＜x₂，则

，

，
在函数图象

处的切线斜率

，
由

化简得：

，

．
令

，则t＞1，上式化为：

，即

，
若令

，

，
由t≥1，g'（t）≥0，∴g（t）在[1，+∞）在上单调递增，g（t）＞g（1）=2．
这表明在（1，+∞）内不存在t，使得

=2．
综上所述，在函数f（x）上不存在两点A、B使得它存在“中值伴随切线”．
点评：考查利用导数研究函数单调性的能力，利用导数求函数极值的能力，以及直线斜率的计算公式．

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