Question

如图，某建筑物的基本单元可近似地按以下方法构作：先在地平面内作菱形ABCD，边长为1，∠BAD＝60°,再在的上方，分别以△与△为底面安装上相同的正棱锥P－ABD与Q－CBD，∠APB＝90°．
（Ⅰ）求证：PQ⊥BD；
（Ⅱ）求二面角P-BD-Q的余弦值；
（Ⅲ）求点P到平面QBD的距离.

Answer 1

(1)证明见解析(2) (3)

（Ⅰ）由P-ABD，Q-CBD是相同正三棱锥，可知△PBD与△QBD是全等等腰三角形 …１分
取BD中点E，连结PE、QE，则BD⊥PE，BD⊥QE．故BD⊥平面PQE，从而BD⊥PQ．  ………4分
（Ⅱ）由（1）知∠PEQ是二面角P-BD-Q的平面角                    ……………………５分
作PM⊥平面，垂足为M，作QN⊥平面，垂足为N，则PM∥QN，M、N分别是正△ABD与正△BCD的中心，从而点A、M、E、N、C共线，PM与QN确定平面PACQ，且PMNQ为矩形． ……可得ME=NE=，PE=QE=，PQ=MN=…7分∴cos∠PEQ＝  ………9分
（Ⅲ）由（1）知BD⊥平面PEQ．设点P到平面QBD的距离为h，则
 ∴．
∴　．　　∴　．                             …………………………14分