Question

已知函数在x=1和处取得极值．
（Ⅰ）求实数a，b的值；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间上存在x₀，使得不等式f（x₀）-c≤0成立，求实数c的最小值．（参考数据e²≈7.389，e³≈20.08）

Answer 1

解：（Ⅰ）函数f（x）定义域为（0，+∞）…（2分）
依题意得，，解得，
故所求a，b的值为…（5分）
（Ⅱ）在上存在x₀，使不等式f（x₀）-c≤0成立，只需c≥[f（x₀）]_min
由（Ⅰ）知
当时，f′（x）＜0，故函数f（x）在上单调递减，
当时，f′（x）＞0，故函数f（x）在上单调递增，
当x∈[1，2]时，f′（x）＜0，故函数f（x）在上单调递减…（7分）
∴是f（x）在上的极小值，且函数f（x）的最小值必是两者中较小的…（8分）
而，∵e³≈20.08＞16，∴…（9分）∴
所以，实数c的最小值为．…（10分）
分析：（I）由已知中函数在x=1和处取得极值，我们求出函数的导函数f′（x）的解析式，易得，解方程组，即可得到实数a，b的值；
（Ⅱ）函数f（x）在区间上存在x₀，使得不等式f（x₀）-c≤0成立，表示函数f（x）在区间上的最小值小于等于c，根据（1）中函数的解析式，求出函数f（x）在区间上的最小值，即可得到答案．
点评：本题考查的知识点是函数在某点取得极值的条件，利用导数求闭区间上的函数的最值，其中根据已知中函数在x=1和处取得极值，构造关于a，b的方程，确定出函数f（x）的解析式，是解答本题的关键．