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15.已知{an}是各项均为正数的等比数列,{bn}是等差数列,且a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7.
(1)求{an}和{bn}的通项公式;
(2)设cn=an•bn,n∈N*,其前n项和为Tn
   ①求Tn
   ②若λ≤n(Tn-3)对任意n∈N+恒成立,求λ的最大值.

分析 (1)设{an}是各项均为正数,公比为q的等比数列,{bn}是公差为d的等差数列,由通项公式,解方程可得d,q,进而得到通项公式;
(2)①运用错位相减法,即可得到所求;
②令dn=n(Tn-3),求得n=1时,d1<0,n>1时,dn>0,可得n=1取得最小值,可得λ的最大值.

解答 解:(1)设{an}是各项均为正数,公比为q的等比数列,
{bn}是公差为d的等差数列,
由a1=b1=1,b2+b3=2a3,a5-3b2=7,
即有1+d+1+2d=2q2,q4-3(1+d)=7,
解方程可得d=2,q=2,
则bn=1+2(n-1)=2n-1,an=2n-1
(2)cn=an•bn=(2n-1)•2n-1
Tn=1•1+3•2+…+(2n-1)•2n-1
2Tn=1•2+3•22+…+(2n-1)•2n
两式相减可得,-Tn=1+2(2+22+…+2n-1)-(2n-1)•2n
=1+2•$\frac{2(1-{2}^{n-1})}{1-2}$-(2n-1)•2n
化简可得,Tn=3-(3-2n)•2n
②λ≤n(Tn-3)对任意n∈N+恒成立,
令dn=n(Tn-3)=n(2n-3)•2n
则n=1时,d1=-2,
当n>1时,dn>0.
故dn的最小值为-2,
则λ≤-2,即λ的最大值为-2.

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用,考查数列的求和方法:错位相减法,考查不等式恒成立问题的解法,属于中档题.

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