Question

15．已知{a_n}是各项均为正数的等比数列，{b_n}是等差数列，且a₁=b₁=1，b₂+b₃=2a₃，a₅-3b₂=7．
（1）求{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）设c_n=a_n•b_n，n∈N^*，其前n项和为T_n；
   ①求T_n；
   ②若λ≤n（T_n-3）对任意n∈N⁺恒成立，求λ的最大值．

Answer 1

分析 （1）设{a_n}是各项均为正数，公比为q的等比数列，{b_n}是公差为d的等差数列，由通项公式，解方程可得d，q，进而得到通项公式；
（2）①运用错位相减法，即可得到所求；
②令d_n=n（T_n-3），求得n=1时，d₁＜0，n＞1时，d_n＞0，可得n=1取得最小值，可得λ的最大值．

解答 解：（1）设{a_n}是各项均为正数，公比为q的等比数列，
{b_n}是公差为d的等差数列，
由a₁=b₁=1，b₂+b₃=2a₃，a₅-3b₂=7，
即有1+d+1+2d=2q²，q⁴-3（1+d）=7，
解方程可得d=2，q=2，
则b_n=1+2（n-1）=2n-1，a_n=2^n-1；
（2）c_n=a_n•b_n=（2n-1）•2^n-1，
T_n=1•1+3•2+…+（2n-1）•2^n-1，
2T_n=1•2+3•2²+…+（2n-1）•2ⁿ，
两式相减可得，-T_n=1+2（2+2²+…+2^n-1）-（2n-1）•2ⁿ
=1+2•$\frac{2（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n-1）•2ⁿ
化简可得，T_n=3-（3-2n）•2ⁿ；
②λ≤n（T_n-3）对任意n∈N⁺恒成立，
令d_n=n（T_n-3）=n（2n-3）•2ⁿ，
则n=1时，d₁=-2，
当n＞1时，d_n＞0．
故d_n的最小值为-2，
则λ≤-2，即λ的最大值为-2．

点评 本题考查等差数列和等比数列的通项和求和公式的运用，考查数列的求和方法：错位相减法，考查不等式恒成立问题的解法，属于中档题．