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已知函数f(x)=x2+bx+c,且f(1)=0.
(1)若函数f(x)是偶函数,求f(x)的解析式;
(2)在(1)的条件下,求函数f(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值;
(3)要使函数f(x)在区间[-1,3]上单调递增,求b的取值范围.
分析:(1)由函数为偶函数,则有f(-x)=f(x)恒成立,再用待定系数法求解.
(2)由(1)易知其对称轴和开口方向,明确其单调性,再求函数最值.
(3)先用配方法将函数变形,求出其对称轴,由“在区间[-1,3]上单调递增”则有-
b
2
≤-1
,再求解即可.
解答:解:(1)∵函数为偶函数,
∴f(-x)=f(x),x∈R恒成立,
即:x2-bx+c=x2+bx+c
∴b=0
又∵f(1)=0.
∴c=-1
∴f(x)=x2-1;
(2)由(1)易知其对称轴为:x=0
∴当x=0时,?f(x)min=-1,?
当x=3时,f(x)max=8;
(3)∵函数f(x)在区间[-1,3]上单调递增
-
b
2
≤-1

∴b≥2
即b≥2时,f(x)在区间[-1,3]上是递增的.
点评:本题主要考查二次函数解析式,单调性与最值的求法,明确对称轴和开口方向是解题的关键.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

精英家教网已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式是(  )
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•深圳一模)已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,f′(x)为f(x)的导函数,且满足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)设g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)设h(x)=lnf′(x),若对一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2011•上海模拟)已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中数学 来源:上海模拟 题型:解答题

已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)当a=1,b=2时,求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1对任意0<a<b恒成立,求实数m的取值范围;
(3)设k、c>0,当a=k2,b=(k+c)2时,记f(x)=f1(x);当a=(k+c)2,b=(k+2c)2时,记f(x)=f2(x).
求证:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中数学 来源:深圳一模 题型:解答题

已知函数f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,设曲线y=f(x)在与x轴交点处的切线为y=4x-12,f′(x)为f(x)的导函数,且满足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)设g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函数g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)设h(x)=lnf′(x),若对一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求实数t的取值范围.

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