Question

已知椭圆C 的中心为原点O，焦点在x 轴上，离心率为，且点在该椭圆上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）如图，椭圆C 的长轴为AB，设 P 是椭圆上异于 A、B 的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，点Q 满足，直线AQ与过点B 且垂直于x 轴的直线交于点M，．求证：∠OQN为锐角．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用椭圆的离心率，及点在该椭圆上满足椭圆的方程与a²=b²+c²即可求出；
（2）设P（x，y）（-2＜x＜2），由A（-2，0），PQ=HP，得到Q（x，2y），进而得到直线AQ的方程为．令x=4即可得到点M的坐标；再根据向量共线即可得到点N的坐标，只要证明且三点O，Q，N不共线即可得到∠OQN为锐角．
解答：解：（1）设椭圆C的方程为，
由题意可得 ，
又a²=b²+c²，∴4b²=a²．
∵椭圆C经过，代入椭圆方程有   ，
解得b²=1．∴a²=4，
故椭圆C的方程为  ．
（2）设P（x，y）（-2＜x＜2），
∵A（-2，0），
∵PQ=HP，∴Q（x，2y），
∴直线AQ的方程为．   
令x=2，得．
∵B（2，0），，
∴．
∴，．
∴
∵，
∴
∴．
∵-2＜x＜2，
∴．
又O、Q、N不在同一条直线，
∴∠OQN为锐角．
点评：本题主要考查椭圆的方程与性质、向量相等于共线及夹角等基础知识，考查运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力．