Question

已知函数f（x）=log_a（ax²+2x+1）．
（1）若a=

1

2

，求函数f（x）的定义域；
（2）若函数f（x）的定义域为R，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,对数函数的图像与性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用对数的真数大于0，求解二次不等式即可．
（2）函数f（x）=log_a（ax²+2x+1）的定义域为R，则真数恒大于0，推出不等式组求解即可．

解答： 解：（1）a=

1

2

，函数f（x）=log

1

2

(

1

2

x2+2x+1)，
∵

1

2

x2+2x+1＞0，∴x²+4x+4＞2，解得：x＞

2

-2或x＜-

2

-2．
函数的定义域：{x|x＞

2

-2或x＜-

2

-2}．
（2）∵函数f（x）=log_a（ax²+2x+1）的定义域为R，
∴说明对任意的实数x，都有ax²+2x+1＞0成立，
显然a＞0时，需要

a＞0 4-4a＜0

，解得1＜a．
综上，函数f（x）=log_a（ax²+2x+1）的定义域为R的实数a的取值范围是（1，+∞）．

点评：本题考查了函数的定义域及其求法，考查了分类讨论的数学思想方法和运算求解的能力，属于中档题．