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已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,f(x)<0又f(1)=-2.
(1)判断f(x)的奇偶性;
(2)求证:f(x)是R上的减函数;
(3)求f(x)在区间[-3,3]上的值域;
(4)若?x∈R,不等式f(ax2)-2f(x)<f(x)+4恒成立,求a的取值范围.

(1)解:取x=y=0,则f(0+0)=2f(0),∴f(0)=0,
取y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x),
∴f(-x)=-f(x)对任意x∈R恒成立,
∴f(x)为奇函数.
(2)证明:任取x1,x2∈(-∞,+∞)且x1<x2
则x2-x1>0,f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,
∴f(x2)<-f(-x1),
又f(x)为奇函数,∴f(x1)>f(x2).
故f(x)为R上的减函数;
(3)∵f(x)为R上的减函数,
∴对任意x∈[-3,3],恒有f(3)≤f(x)≤f(-3),
f(3)=3f(1)=-2×3=-6,∴f(-3)=-f(3)=-6,
故f(x)在[-3,3]上最大值为6,最小值为-6.
故f(x)在区间[-3,3]上的值域为[-6,6].
(3)解:f(x)为奇函数,整理原式得f(ax2)+2f(-x)<f(x)+f(-2),
可得f(ax2-2x)<f(x-2),而f(x)在R上是减函数,
所以ax2-2x>x-2即ax2-3x+2>0恒成立,
①当a=0时不成立,
②当a≠0时,有a>0且△<0,即,解得a>
故a的取值范围为(,+∞).
分析:(1)取x=y=0可求得f(0),取y=-x可得f(x)与f(-x)的关系,由奇偶性的定义即可判断;
(2)任取x1,x2∈(-∞,+∞)且x1<x2,由已知可得f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,从而可比较f(x1)与f(x2)的大小关系,得到f(x1)>f(x2);
(3)由(2)知f(x)的单调性,根据单调性即可求得最大值、最小值,从而求得值域;
(4)根据函数的奇偶性、单调性可把f(ax2)+2f(-x)<f(x)+f(-2)转化为具体不等式恒成立,利用数形结合即可得到关于a的限制条件,解出即可.
点评:本题考查抽象函数 的奇偶性、单调性及其应用,考查函数恒成立问题,考查学生分析问题解决问题的能力,属中档题.
练习册系列答案
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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=ex,直线l的方程为y=kx+b.
(1)求过函数图象上的任一点P(t,f(t))的切线方程;
(2)若直线l是曲线y=f(x)的切线,求证:f(x)≥kx+b对任意x∈R成立;
(3)若f(x)≥kx+b对任意x∈[0,+∞)成立,求实数k、b应满足的条件.

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科目:高中数学 来源: 题型:

若实数x、y、m满足|x-m|>|y-m|,则称x比y远离m.
(1)若x2-1比1远离0,求x的取值范围;
(2)对任意两个不相等的正数a、b,证明:a3+b3比a2b+ab2远离2ab
ab

(3)已知函数f(x)的定义域D={{x|x≠
2
+
π
4
,k∈Z,x∈R}
.任取x∈D,f(x)等于sinx和cosx中远离0的那个值.写出函数f(x)的解析式,并指出它的基本性质(结论不要求证明).

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科目:高中数学 来源: 题型:

若实数x、y、m满足|x-m|<|y-m|,则称x比y接近m.
(1)若x2-1比3接近0,求x的取值范围;
(2)对任意两个不相等的正数a、b,证明:a2b+ab2比a3+b3接近2ab
ab

(3)已知函数f(x)的定义域D{x|x≠kπ,k∈Z,x∈R}.任取x∈D,f(x)等于1+sinx和1-sinx中接近0的那个值.写出函数f(x)的解析式,并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值和单调性(结论不要求证明).

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科目:高中数学 来源: 题型:

已知函数f(x)=
ex
ex+1

(Ⅰ)证明函数y=f(x)的图象关于点(0,
1
2
)对称;
(Ⅱ)设y=f-1(x)为y=f(x)的反函数,令g(x)=f-1(
x+1
x+2
),是否存在实数b
,使得任给a∈[
1
4
1
3
],对任意x∈(0,+∞).不等式g(x)>x-ax2
+b恒成立?若存在,求b的取值范围;若不存在,说明理由.

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科目:高中数学 来源: 题型:

(2012•海淀区一模)已知函数f(x)=
1,x∈Q
0,x∈CRQ
,则f(f(x))=
1
1

下面三个命题中,所有真命题的序号是
①②③
①②③

①函数f(x)是偶函数;
②任取一个不为零的有理数T,f(x+T)=f(x)对x∈R恒成立;
③存在三个点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),C(x3,f(x3)),使得△ABC为等边三角形.

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