Question

设函数f（x）=（x²+ax+b）e^x（x∈R）．
（1）若a=1，b=-1，求函数f（x）的极值；
（2）若2a+b=-3，试确定f（x）的单调性；
（3）记，且g（x）在[-1，1]上的最大值为M，证明：．

Answer 1

【答案】分析：（1）先把a=1，b=-1代入函数解析式，再研究f′（x）的符号，利用导数求解f（x）在R上的极值问题即可．
（2）先对函数y=f（x）进行求导，然后令导函数大于0（或小于0）求出x的范围，根据f′（x）＞0求得的区间是单调增区间，f′（x）＜0求得的区间是单调减区间，即可得到答案．
（3）先根据题意=|x²+ax+b|，及g（x）在[-1，1]上的最大值为M，得到：g（-1）≤M，g（0）≤M，g（1）≤M再结合绝对值不等式的性质即可求得．
解答：解：（1）若a=1，b=-1，则f（x）=（x²+x-1）e^x
有f'（x）=（2x+1）e^x+（x²+x-1）e^x=e^x（x²+3x）
令f'（x）=0得x₁=-3，x₂=0（1分）
∵当x∈（-∞，-3）时f'（x）＞0，当x∈（-3，0）时f'（x）＜0，当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0
∴当x=-3时，函数f（x）有极大值，，（2分）
当x=0时，函数f（x）有极小值，f（x）_极小值=f（0）=-（13分）
（2）∵2a+b=-3即b=-2a-3
又f'（x）=（2x+a）e^x+（x²+ax+b）e^x=e^x[x²+（2+a）x+（a+b）]
∴f'（x）=e^x[x²+（2+a）x+（-3-a）]=e^x（x-1）[x+（3+a）]（5分）
当-3-a=1即a=-4时，f'（x）=e^x（x-1）²≥0
∴函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；（6分）
当-3-a＞1，即a＜-4时，由f'（x）＞0得x＞-3-a或x＜1，
由f'（x）＜0得1＜x＜-3-a；（7分）
当-3-a＜1，即a＞-4时，由f'（x）＞0得x＜-3-a或x＞1，
由f'（x）＜0得-3-a＜x＜1；（8分）
综上得：当a=-4时，函数f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；
当a＜-4时，函数f（x）在（-∞，1）和（-3-a，+∞）上单调递增，在（1，-3-a）上单调递减-（9分）
当a＞-4时，函数f（x）在（-∞，-3-a）和（1，+∞）上单调递增，在（-3-a，1）上单调递减．（10分）
（3）根据题意=|x²+ax+b|，
∵g（x）在[-1，1]上的最大值为M，
∴g（-1）≤M，g（0）≤M，g（1）≤M
即|1-a+b|≤M，|b|≤M，|1+a+b|≤M（12分）
2=|（1-a+b）+（1+a+b）-2b|≤|1-a+b|+|1+a+b|+|2b|≤4M
∴（17分）（其它解法请参照给分）
点评：本题主要考查了利用导数研究函数的极值，以及函数单调区间等有关基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．研究单调性的关键是导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．