Question

已知函数f（x）=lnx-a（x-1），（a＞0）
（1）求函数f（x）的单调区间和极值；
（2）若函数f（x）在（1，+∞）是单调减函数，求实数a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，当n∈N⁺时，证明：（1+

1

2

）（1+

1

22

+）（1+

1

23

）…（1+

1

2n

）＜e．其中（e≈2.718…即自然对数的底数）

Answer 1

分析：（1）求f（x）的导数，得f′ (x)=

1-ax

x

，再讨论导数的正负，可得f（x）的单调增区间为(0，

1

a

)，f（x）的单调减区间为(

1

a

，+∞)；
（2）根据函数单调性与导数之间的关系，可得f′ (x)=

1

x

-a≤0在区间（1，+∞）上恒成立，结合x＞1加以讨论可得实数a的取值范围为[1，+∞）；
（3）由（2）知：当a=1时f（x）在（1，+∞）上单调递减，可得

lnx＜x-1

在（1，+∞）上成立，由此令x=1+

1

2n

得ln（1+

1

2n

）＜

1

2n

，分别取n=1，2，3，…，n将得到的式子相加，再结合对数的运算法则即可证出（1+

1

2

）（1+

1

22

+）（1+

1

23

）…（1+

1

2n

）＜e，对任意的n∈N^*成立．

解答：解：（1）f（x）定义域为（0，+∞）…（1分）
求导数，得f′ (x)=

1

x

-a=

1-ax

x

…（2分）
令f’ (x)=0，x1=0，x2=

1

a

当0＜x＜

1

a

时，f′（x）＞0；当x＞

1

a

时，f′（x）＜0…（3分）
∴f（x）的单调增区间为(0，

1

a

)，f（x）的单调减区间为(

1

a

，+∞)，…（4分）
因此，f（x）的极大值为f(

1

a

)=-lna-1+a，无极小值…（5分）
（2）∵函数f（x）在（1，+∞）是单调减函数，
∴f′ (x)=

1

x

-a≤0在区间（1，+∞）上恒成立．（7分）
∵x＞1，可得0＜

1

x

＜1
∴a≥1，即实数a的取值范围为[1，+∞）…（9分）
（3）由（2）得当a=1时，f（x）在（1，+∞）上单调递减，

∴f(x)=lnx-(x-1)＜f(1)=0

，可得

lnx＜x-1，(x＞1)

…（10分）
令x=1+

1

2n

，可得ln（1+

1

2n

）＜

1

2n

…（11分）
分别取n=1，2，3，…，n得
ln（1+

1

2

）+ln（1+

1

22

）+ln（1+

1

23

）+…+ln（1+

1

2n

）＜

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

=1-

1

2n

＜1…（13分）
即ln[（1+

1

2

）（1+

1

22

）（1+

1

23

）…（1+

1

2n

）]＜lne
可得（1+

1

2

）（1+

1

22

+）（1+

1

23

）…（1+

1

2n

）＜e，对任意的n∈N^*成立．

点评：本题求函数的单调区间与极值，并依此证明不等式恒成立．着重考查了利用导数研究函数的单调性、求函数的极值和不等式恒成立的证明等知识，属于中档题．