Question

【题目】已知点H（﹣1，0），点P在y轴上，动点M满足PH⊥PM，且直线PM与x轴交于点Q，Q是线段PM的中点．
（1）求动点M的轨迹E的方程；
（2）若点F是曲线E的焦点，过F的两条直线l1 ， l2关于x轴对称，且l1交曲线E于A、C两点，l2交曲线E于B、D两点，A、D在第一象限，若四边形ABCD的面积等于 ，求直线l1 ， l2的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：设M（x，y），P（0，y1）（y1≠0），Q（x1，0），

=（﹣1，﹣y1）， =（x1，﹣y1），

∵PH⊥PM，

∴﹣x1+y′2=0，即y12=x1，

又 ，则 ，可得：y2= （x≠0），

（2）解：由（1）抛物线的焦点F（ ，0），则直线l1：x=my+ （m＞0），

则 ，整理得y2﹣ y﹣ =0，

∴yA+yC= ，yAyC=﹣ ，

由题意，四边形ABCD是等腰梯形，

∴S=丨 丨=﹣2（yA﹣yC）2（yA+yC）=，

=﹣m[（yA+yC）2﹣4yAyC]=﹣ ，

由﹣ = ，

整理得：m3+m=10，（m+2）（m2﹣2m+5）=0，

则m2﹣2m+5＞0，则m=﹣2，

∴直线l1，l2的方程y=﹣ x+ ，y= x﹣ ．

【解析】（1）由题意可知： =（﹣1，﹣y1）， =（x1 ， ﹣y1），利用PH⊥PM，求动点M的轨迹E的方程；（2）由抛物线的焦点，设直线方程，代入椭圆方程，结合韦达定理，即可用m表示四边形ABCD的面积，求出m，即可求直线l1 ， l2的方程．