Question

设函数f(x)在定义域R上总有f(x)＝－f(x＋2)，且当－1<x≤1时，f(x)＝x²＋2.

(1)当3<x≤5时，求函数f(x)的解析式；

(2)判断函数f(x)在(3,5]上的单调性，并予以证明．

Answer 1

 [解析]　(1)∵f(x)＝－f(x＋2)，

∴f(x＋2)＝－f(x)．

∴f(x)＝f[(x－2)＋2]＝－f(x－2)＝－f[(x－4)＋2]＝f(x－4)．

∵－1<x≤1时，f(x)＝x²＋2，

又∵当3<x≤5时，－1<x－4≤1，

∴f(x－4)＝(x－4)²＋2.

∴当3<x≤5时，f(x)＝(x－4)²＋2.

(2)∵函数f(x)＝(x－4)²＋2的对称轴是x＝4，

∴函数f(x)＝(x－4)²＋2在(3,4]上单调递减，在[4,5]上单调递增．

证明：任取x₁，x₂∈(3,4]，且x₁<x₂，有

f(x₁)－f(x₂)

＝[(x₁－4)²＋2]－[(x₂－4)²＋2]

＝(x₁－x₂)(x₁＋x₂－8)．

∵3<x₁<x₂≤4，

∴x₁－x₂<0，x₁＋x₂－8<0.

∴f(x₁)－f(x₂)>0，即f(x₁)>f(x₂)．

故函数y＝f(x)在(3,4]上单调递减．

同理可证函数在[4,5]上单调递增．