Question

【题目】已知函数f（x）=|x﹣a|+m|x+a|． （Ⅰ）当m=a=﹣1时，求不等式f（x）≥x的解集；
（Ⅱ）不等式f（x）≥2（0＜m＜1）恒成立时，实数a的取值范围是{a|a≤﹣3或a≥3}，求实数m的集合．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）m=a=﹣1时，|x+1|﹣|x﹣1|≥x， x＜﹣1时，﹣（x+1）+（x﹣1）≥x，解得：x≤﹣2，
﹣1≤x≤1时，（x+1）+（x﹣1）≥x，解得：0≤x＜1，
x≥1时，（x+1）﹣（x﹣1）≥x，解得：1≤x≤2，
综上，不等式的解集是{x|x≤﹣2或0≤x≤2}；
（Ⅱ）f（x）=|x﹣a|+m|x+a|=m（|x﹣a|+|x+a|）+（1﹣m）|x﹣a|≥2m|a|+（1﹣m）|x﹣a|≥2m|a|≥2，
解得：a≤﹣ 或a≥ ，
∵数a的取值范围是{a|a≤﹣3或a≥3}，
故 =3，解得：m= ，
∴实数m的集合是{m|m= }
【解析】（Ⅰ）将m=a=﹣1代入（x），通过讨论x的范围求出不等式的解集即可；（Ⅱ）根据绝对值的性质得到2m|a|≥2，解出a，得到关于m的方程，解出即可．