Question

偶函数f（x）（x∈R）满足：f（-4）=f（1）=0，且在区间[0，3]与[3，+∞）上分别递减和递增，则不等式x³f（x）＜0的解集为（ ）
A．（-∞，-4）∪（4，+∞）
B．（-4，-1）∪（1，4）
C．（-∞，-4）∪（-1，0）
D．（-∞，-4）∪（-1，0）∪（1，4）

Answer 1

【答案】分析：利用偶函数关于y轴对称的性质并结合题中给出函数的单调区间画出函数f（x）的图象，再由x³f（x）＜0得到x³与f（x）异号得出结论．
解答：解：∵f（x）是偶函数
∴f（-x）=f（x）即f（4）=f（-1）=0
又∵f（x）在区间[0，3]与[3，+∞）上分别递减和递增得到图象如图：
由图可知，当x＞0时x³＞0要x³f（x）＜0只需f（x）＜0即x∈（1，4）
当x＜0时同理可得x∈（-∞，-4）∪（-1，0）故答案选D．
点评：本题考查了利用函数的奇偶性和单调性做出函数图象，并利用数形结合求解．