如图在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,顶点A1在底面ABC上的射影恰为点B,且AB=AC=A1B=2.
(1)证明:平面A1AC⊥平面AB1B;
(2)若点P为B1C1的中点,求三棱锥P-ABC与四棱锥P-AA1B1B的体积之比.
(1)证明详见解析;(2)1:1.
解析试题分析:(1)根据直线与平面垂直的性质可得,而已知,由直线与平面垂直的判定定理可得面,根据平面与平面垂直的判定定理可得平面平面;
(2)由已知可知,=2是三棱锥P ABC的高,△ABC是等腰直角三角形,可计算出求三棱锥P ABC的体积.由于AC⊥平面AB1B,点P为B1C1的中点,可知点P到平面距离等于点到平面的距离的一半,计算出四棱锥P AA1B1B的体积即可求解.
试题解析:证明:(1)由题意得:平面ABC,
∴, 2分
又,
∴AC垂直平面AB1B, 3分
∵面,∴平面平面; 5分
(2)在三棱锥中,因为,
底面是等腰直角三角形,
又因为点P到底面的距离=2,所以. 6分
由(1)可知AC⊥平面AB1B,
因为点P在B1C1的中点,
所以点P到平面AA1B1B距离h2等于点C1到平面AA1B1B的距离的一半,即h2=1. 8分
, 10分
所以三棱锥P ABC与四棱锥P AA1B1A1的体积之比为1:1. 12分
考点:1.直线与平面垂直的性质;2.平面与平面垂直的判断和性质;3.锥体的体积.
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如图是某几何体的三视图,它的正视图和侧视图均为矩形,俯视图为正三角形(长度单位:cm)
(1)试说出该几何体是什么几何体;
(2)按实际尺寸画出该几何体的直观图,并求它的表面积及体积.(只要做出图形,不要求写作法)
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(2013•浙江)如图,在四面体A﹣BCD中,AD⊥平面BCD,BC⊥CD,AD=2,BD=2.M是AD的中点,P是BM的中点,点Q在线段AC上,且AQ=3QC.
(1)证明:PQ∥平面BCD;
(2)若二面角C﹣BM﹣D的大小为60°,求∠BDC的大小.
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在如图所示的几何体中,四边形为正方形,四边形为等腰梯形,,,,.
(1)求证:平面;
(2)求四面体的体积;
(3)线段上是否存在点,使平面?请证明你的结论.
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已知一个几何体的三视图如图所示.
(1)求此几何体的表面积;
(2)在如图的正视图中,如果点为所在线段中点,点为顶点,求在几何体侧面上从点到点的最短路径的长.
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如图,△ABC内接于圆O,AB是圆O的直径,四边形DCBE为平行四边形,DC平面ABC,,
(1)证明:平面ACD平面ADE;
(2)记,表示三棱锥A-CBE的体积,求函数的解析式及最大值
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在四棱锥P -ABCD中,底面是边长为2的菱形,∠DAB=60°,对角线AC与BD交于点O,PO⊥平面ABCD,PB与平面ABCD所成角为60°.
(1)求四棱锥的体积.
(2)若E是PB的中点,求异面直线DE与PA所成角的余弦值.
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