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如图在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,顶点A1在底面ABC上的射影恰为点B,且AB=AC=A1B=2.
 
(1)证明:平面A1AC⊥平面AB1B;
(2)若点P为B1C1的中点,求三棱锥P-ABC与四棱锥P-AA1B1B的体积之比.

(1)证明详见解析;(2)1:1.

解析试题分析:(1)根据直线与平面垂直的性质可得,而已知,由直线与平面垂直的判定定理可得,根据平面与平面垂直的判定定理可得平面平面
(2)由已知可知,=2是三棱锥P ABC的高,△ABC是等腰直角三角形,可计算出求三棱锥P ABC的体积.由于AC⊥平面AB1B,点P为B1C1的中点,可知点P到平面距离等于点到平面的距离的一半,计算出四棱锥P AA1B1B的体积即可求解.
试题解析:证明:(1)由题意得:平面ABC,
,      2分

∴AC垂直平面AB1B,      3分
,∴平面平面;      5分
(2)在三棱锥中,因为
底面是等腰直角三角形,

又因为点P到底面的距离=2,所以.      6分
由(1)可知AC⊥平面AB1B,
因为点P在B1C1的中点,
所以点P到平面AA1B1B距离h2等于点C1到平面AA1B1B的距离的一半,即h2=1.      8分
,      10分
所以三棱锥P ABC与四棱锥P AA1B1A1的体积之比为1:1.      12分
考点:1.直线与平面垂直的性质;2.平面与平面垂直的判断和性质;3.锥体的体积.

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